  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Complexe}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du DS 5 : Complexe et Exponentielle}


\Exoi{\hfill (10 points)\\
Pour tout nombre complexe $z$, on définit :
$$ P(z)=z^3-4(\sqrt{2}+1)z^2+16(\sqrt{2}+1)z-64$$
\begin{enumerate}
\item %Calculer $P(4)$.
On a :
$$ P(4)=64-64(\sqrt{2}+1)+64(\sqrt{2}+1)-64=0$$
\item %Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que :
$$ (z-4)(z^2+az+b)=z^3+az^2+bz-4z^2-4az-4b=z^3+(a-4)z^2+(b-4a)z-4b$$
Par identification, on obtient :
$a-4=-4(\sqrt{2}+1)\Longrightarrow a=-4(\sqrt{2}+1)+4=-4\sqrt{2}$\\
$ b-4a=16(\sqrt{2}+1)\Longrightarrow b=16\sqrt{2}+16-16\sqrt{2}=16$\\
$-4b=-64\Longrightarrow b=16$.
\\
Au final on a :
$$ P(z)=(z-4)(z^2-4\sqrt{2}z+16)$$
\item %Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$. 
$$P(z)=0\Longleftrightarrow (z-4)(z^2-4\sqrt{2}z+16)=0\Longleftrightarrow z=4\quad \text{ou} \quad z^2-4\sqrt{2}z+16=0$$
$\Delta=(-4\sqrt{2})^2-4\times 16=32-64=-32$, donc $z^2-4\sqrt{2}z+16=0$ admet deux solutions :
$$ z_1=\dfrac{4\sqrt{2}+\sqrt{32}i}{2}=\dfrac{4\sqrt{2}+4\sqrt{2}i}{2}=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i\qquad \text{ou}\qquad z_2=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i$$
On a :
$$ \mathscr S=\{4;2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i;2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i\}$$
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : $1$ cm).\\
On note $A$, $B$, $C$  et $D$ les points d'affixes respectives $z_A=4$, $z_B=2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}$, $z_C=2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}$ et $z_D=-2+2i\sqrt{3}$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer le module de $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle $\mathscr C$ dont on précisera le centre et le rayon.
$|z_A|=\sqrt{16}=4$, $|z_B|=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$, $|z_C|=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(-2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=4$ 
$$|z_D|=\sqrt{(-2)^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$$
Ainsi $OA=OB=OC=OD=4$ et donc $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent au cercle $\mathscr C$ de centre $O$ et de rayon $4$.
\item %Déterminer l'argument des nombres complexes $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. Donner la forme trigonométrique puis la forme exponentielle des nombres complexes $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$.
$z_A=4(\cos \theta+i\sin\theta)=4$, donc $4\cos \theta=4$ et $4\sin\theta=0$, ainsi $\cos \theta=1$ et $\sin\theta=0$ donc $\theta=0[2\pi]$.
\\
On conclut que $z_A=4(\cos 0+i\sin 0)=4e^{i0}$.\\
$z_B=4(\cos \theta+i\sin\theta)=2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}$, donc $4\cos \theta=2\sqrt{2}$ et $4\sin\theta=2\sqrt{2}$, ainsi $\cos \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ donc $\theta=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$.
\\
On conclut que $z_B=4(\cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4})=4e^{i\frac{\pi}{4}}$.\\
$z_C=4(\cos \theta+i\sin\theta)=2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}$, donc $4\cos \theta=2\sqrt{2}$ et $4\sin\theta=-2\sqrt{2}$, ainsi $\cos \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ donc $\theta=-\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$.
\\
On conclut que $z_C=4(\cos \dfrac{-\pi}{4}+i\sin \dfrac{-\pi}{4})=4e^{i\frac{-\pi}{4}}$.\\
$z_D=4(\cos \theta+i\sin\theta)=-2+2i\sqrt{3}$, donc $4\cos \theta=-2$ et $4\sin\theta=-2\sqrt{3}$, ainsi $\cos \theta=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ donc $\theta=-\dfrac{2\pi}{3}[2\pi]$.\\
On conclut que $z_D=4(\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin \dfrac{2\pi}{3})=4e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
\item %Placer sur un graphique les points $A$, $B$, $C$ et $D$ à l'aide de la règle (non graduée) et du compas, en respectant l'unité imposé par l'énoncé.
\quad 
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\pscircle(0,0){4}
\psplot{-4.3}{8.5}{(-0--1*x)/1}
\psplot{-4.3}{8.5}{(-0-1*x)/1}
\psline(-2,-4.52)(-2,6.3)
\psline(2.83,2.83)(4,0)
\rput[bl](-2,3){$c$}
\psdots[dotstyle=*](2.83,2.83)
\rput[bl](2.9,2.94){$B$}
\psdots[dotstyle=*](2.83,-2.83)
\rput[bl](2.9,-2.7){$C$}
\psdots[dotstyle=*](-2,3.46)
\rput[bl](-1.92,3.58){$D$}
\psdots[dotstyle=*](4,0)
\rput[bl](4.08,0.12){$A$}
\psdots[dotstyle=*](3.41,1.41)
\rput[bl](3.5,1.54){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $z_I$ son affixe.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la forme algébrique de $z_I$, puis le module de $z_I$.
$z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{4+2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}+\sqrt{2}i$
\item %Démontrer que le triangle $OAB$ est isocèle. En déduire l'argument de $z_I$.
On sait $OA=OB=4$ donc le triangle $OAB$ est isocèle en $O$, par conséquent la médiane issue de $O$ est aussi la bissectrice de l'angle $(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{OB})$, par conséquent :
$$ (\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{OI})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{OB})=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{8}[2\pi]$$
Ainsi $arg(z_I)=\dfrac{\pi}{8}[2\pi]$
\item %Donner la forme trigonométrique de $z_I$.
On a $|z_I|=\sqrt{(2+\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4+4\sqrt{2}+2+2}=\sqrt{8+4\sqrt{2}}=2\sqrt{2+\sqrt{2}}$.\\
Par conséquent :
$$ z_I=2\sqrt{2+\sqrt{2}}\left(\cos \dfrac{\pi}{8}+i\sin \dfrac{\pi}{8}\right)$$
\item %Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de :
%$$ \cos \dfrac{\pi}{8}\qquad \text{et}\qquad \sin\dfrac{\pi}{8}$$
On a :
$$ z_I=2\sqrt{2+\sqrt{2}}\left(\cos \dfrac{\pi}{8}+i\sin \dfrac{\pi}{8}\right)=2+\sqrt{2}+\sqrt{2}i$$
donc $$ \cos \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}\qquad \text{et}\qquad \sin \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item On note $E$ et $F$ les points d'affixes respectives $z_E=z_B\times z_C$. et $z_F=\dfrac{z_D}{z_I}$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la forme algébrique de $z_E$ et $z_F$.
$z_E=z_B\times z_C=\left(2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}\right)\times (2\sqrt{2}-2i\sqrt{2})=(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=8+8=16$.\\
$$ z_F=\dfrac{-2+2i\sqrt{3}}{2+\sqrt{2}+\sqrt{2}i}=\dfrac{(-2+2i\sqrt{3})(2+\sqrt{2}-\sqrt{2}i)}{(2+\sqrt{2}+\sqrt{2}i)(2+\sqrt{2}-\sqrt{2}i)}=\dfrac{-4-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i+4i\sqrt{3}+2i\sqrt{6}+2\sqrt{6}}{(2+\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}
$$
$$z_F=\dfrac{-4-2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+i(2\sqrt{2}+4\sqrt{3}+2\sqrt{6})}{8+4\sqrt{2}}=\dfrac{-2-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4+2\sqrt{2}}+i\dfrac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{4+2\sqrt{2}}$$
\item %Déterminer la forme trigonométrique de $z_E$ et $z_F$.
$ |z_E|=4\times 4=16$ et $arg(z_E)=0[2\pi]$.\\
$|z_F|=\dfrac{4}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$.\\
$arg(z_F)=arg(z_D)-arg(z_I)=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{13\pi}{24}[2\pi]$.\\
On en déduit :
$$ z_E=4(\cos 0+i\sin 0)\qquad \text{et}\qquad z_F=\dfrac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\left(\cos \dfrac{13\pi}{24}+i\sin \dfrac{13\pi}{24}\right)$$
\item \textbf{[Bonus]} %Donner les valeurs exactes de : $$ \cos \dfrac{13\pi}{24}\qquad \text{et}\qquad \sin \dfrac{13\pi}{24}$$ 
On a :
$$ \cos \dfrac{13\pi}{24}=\dfrac{-2-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4+2\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\qquad \text{et}\qquad \sin \dfrac{13\pi}{24}=\dfrac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{4+2\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (4 points)\\
Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie la condition donnée :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $M\in\mathscr C\Longleftrightarrow |z-5|=|z-1-3i|$
Notons $A(5)$ et $B(1+3i)$ on a donc :
$M\in\mathscr C\Longleftrightarrow |z-5|=|z-1-3i|\Longleftrightarrow |z-z_A|=|z-z_B|\Longleftrightarrow AM=BM$\\
$\mathscr C$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psline(1,3)(5,0)
\psplot{-4.3}{8.5}{(-7.5--4*x)/3}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,0)
\rput[bl](5.08,0.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,3)
\rput[bl](1.08,3.12){\blue{$B$}}
%\rput[bl](2.8,1.26){$a$}
\rput[bl](6.1,6){$\mathscr C$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item $M\in\mathscr F \Longleftrightarrow |\overline{z}|=|z-i|$.\\
Notons $A(i)$, on a alors :\\
$M\in\mathscr F \Longleftrightarrow |\overline{z}|=|z-i|\Longleftrightarrow |z|=|z-z_A|\Longleftrightarrow OM=MA$\\
$\mathscr F$ est la médiatrice du segment $[OA]$.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psline(0,0)(0,1)
\psplot{-4.3}{8.5}{(-0.5-0*x)/-1}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,1)
\rput[bl](0.08,1.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$B$}}
\rput[bl](8.2,0.66){$\mathscr F$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item $M\in\mathscr G\Longleftrightarrow arg(z-1)=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$\\
$\mathscr G$ est la demi-droite $[AB)$ avec $z_A=1$ et $z_B=1+\sqrt{3}i$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\pscircle(1,0){1}
\psline(1.5,-4.52)(1.5,6.3)
\psplot{1}{8.5}{(-0.87--0.87*x)/0.5}
\psdots[dotstyle=*](1,0)
\rput[bl](1.08,0.12){$A$}
\psdots[dotstyle=*](1.5,0.87)
\rput[bl](1.58,0.98){$B$}
\psdots[dotstyle=*](1.31,0.54)
\rput[bl](1.4,0.66){$C$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%\item $ M\in\mathscr H\Longleftrightarrow |z-4+i|=|z-3i |$
\item $ M\in\mathscr K\Longleftrightarrow | \overline{z} -4-i|=4\Longleftrightarrow |z-4+i|=4\Longleftrightarrow|z-z_A|=4\Longleftrightarrow AM=4$.\\
$\mathscr K$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $4$ avec $z_A=4-i$.
%\item  $  M\in\mathscr L\Longleftrightarrow arg( \overline{z}) =arg(-z)[2\pi]$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\pscircle(4,-1){4}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4,-1)
\rput[bl](4.08,-0.88){\blue{$A$}}
\rput[bl](2,2){$\mathscr K$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
%\end{multicols}
}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (6 points)\\
\textbf{Partie I}\\
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=e^x(1-x)+1$$
On note $\mathscr C_g$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Limites et Asymptotes}
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$. 
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} e^x=+\infty \quad \text{et} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}  1-x=-\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty}  e^x(1-x)=-\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty}  g(x)=-\infty$$
\item %Déteminer la limite de $g$ en $-\infty$. En déduire que la courbe $\mathscr C_g$ admet une asymptote $\mathscr D$ que l'on précisera.
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0 \quad \text{et}\quad \lim\limits_{x\to -\infty} 1-x=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to -\infty} e^x(1-x)=F.I$$
Lorsqu'une forme indéterminée (en $\infty$) implique un polynôme et l'exponentielle, alors c'est l'exponentielle qui l'emporte et donc :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} e^x(1-x)=0\Longrightarrow \lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=1$$
Par conséquent $\mathscr C_g$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=1$ en $-\infty$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Dérivée, Variation et signe de $g$}
\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout $x\in\R$ on a :
%$$ g'(x)=-xe^x$$
Pour tout $x\in\R$ on a :
$$ g'(x)=e^x(1-x)-e^x=e^x-xe^x-e^x=-xe^x$$
\item %Dresser le tableau des variations (en justifiant) de la fonction $g$, préciser les extremums de $g$.
Comme $e^x>0,\quad \forall x\in\R$, $g'(x)$ est du signe de $-x$, par conséquent :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{g(x)}&\txb{1}&\fm&\txh{2}&\fd&\txb{-\infty}\cr
}$$
\item %Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique solution que l'on note $\alpha$
Sur $]-\infty;0]$, $g(x)\in [1;2]$, par conséquent sur cet intervalle $g(x)=0$ n'admet aucune solution.\\
Sur $]0;+\infty[$, $g$  est une fonction continue et strictement décroissante prenant toutes les valeurs inférieures ou égales à $2$, par conséquent l'équation $g(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha>0$.
\item %A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
$$ \alpha\simeq 1,28$$
\item %Démontrer que $e^\alpha=\dfrac{1}{\alpha-1}$.
Par définition de $\alpha$, on sait que $g(\alpha)=0\Longleftrightarrow e^\alpha(1-\alpha)+1=0\Longleftrightarrow e^{\alpha}=-\dfrac{1}{1-\alpha}=\dfrac{1}{\alpha-1}$
\item %Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Du tableau de variation de $g$ et sachant que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x)=0$, on obtient directement :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{alpha}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\end{enumerate}
\item \textbf{Tangente et représentation graphique}
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'équation de la tangente $T_0$ à $\mathscr C_g$ au point d'abscisse $0$.
L'équation de $T_0$ est de la forme :
$$ y=g'(0)(x-0)+g(0)$$
Or, $g'(0)=0$ et $g(0)=2$, par conséquent  $T_0 : y=2$
\item %Déterminer l'équation de la tangente $T_1$ à $\mathscr C_g$ au point d'abscisse $1$.
$$ y=g'(1)(x-1)+g(1)$$
Or, $g'(1)=-e$ et $g(1)=1$, par conséquent $T_1 : y=-e(x-1)+1=-ex+e+1$
\item %Montrer que $\mathscr C_g$ est au dessous de $T_1$ pour tout $x\neq 1$.
Pour $x\neq 1$, on a :
$g(x)-y=e^x(1-x)+1+e(x-1)-1=e^x(1-x)-e(1-x)=(1-x)(e^x-e)$.
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{1-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{e^x-e}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{g(x)-y}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
Ainsi, pour tout $x\neq 1$, $g(x)-y<0$, par conséquent $\mathscr C_g$ est au dessous de $T_1$ pour tout $x\neq 1$.
\item %Tracer dans un repère les droites $\mathscr D$, $T_0$, $T_1$ et la courbe $\mathscr C_g$.
\quad
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psplot[linecolor=zzqqqq]{-4.3}{8.5}{(--2-0*x)/1}
\psplot[linecolor=qqzzqq]{-4.3}{8.5}{(--1-0*x)/1}
\psplot[linecolor=zzqqqq]{-4.3}{8.5}{(--3.72-2.72*x)/1}
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{EXP(x)*(1-x)+1}
\rput[tl](1.24,-2.4){$\qqqqzz{\mathscr C_g}$}
\rput[tl](0.34,3.68){$\zzqqqq{T_1}$}
\rput[tl](4.4,2.52){$\zzqqqq{T_0}$}
\rput[tl](4.66,0.88){$\qqzzqq{\mathscr D}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie II}\hfill(éventuellement bonus)\\
Soit $A$ la fonction déﬁnie et dérivable sur $\R$ telle que 
$$ A(x)=\dfrac{4x}{e^x+1}$$
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A' (x )$ a le même signe que $g (x )$, 
%où $g$ est la fonction déﬁnie dans la partie I.
On a, pour tout $x\in\R$ :
$$ A'(x)=\dfrac{4(e^x+1)-4xe^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{4e^x+4-4xe^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{4(e^x(1-x)+1)}{(e^x+1)^2}=\dfrac{4g(x)}{(e^x+1)^2}$$
\item %En déduire les variations de la fonction $A$ sur $\R$.
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{alpha}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{A(x)}&&\fm&&\fd&\cr
}$$
\item %Déterminer les limites de $A$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
On a :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} 4x=+\infty \quad \text{et}\quad  \lim\limits_{x\to +\infty} e^x+1=+\infty\Longrightarrow  \lim\limits_{x\to +\infty}  A(x)=F.I$$
Lorsqu'une forme indéterminée (en $\infty$) implique un polynôme et l'exponentielle, alors c'est l'exponentielle qui l'emporte et donc :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} A(x)=0$$
De plus :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty}4x=0\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x\to -\infty}e^x+1=1\Longrightarrow \lim\limits_{x\to -\infty}A(x)=0$$
\end{enumerate}
}
\end{document}
