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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Exponentielle}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du DS 4 : Exponentielle}

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (2 points)\\
On suppose connu le résultat suivant :\\
La fonction $x \mapsto  \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$.
\\
Soit $a$ un réel donné.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.
		Pour tout $x\in\R$ on a $f'(x)=ae^{ax}=af(x)$, par conséquent $f$ est solution de l'équation $y'=ay$.
		\item %Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante. (On montrera $h'=0$)
		On a pour tout $x\in\R$, $h'(x)=g'(x)e^{-ax}-ag(x)e^{-ax}=e^{-ax}(g'(x)-ag(x))$. \\
		Or, $g$ est solution de $y'=ay$, par conséquent $g'(x)-ag(x)=0$, et donc $h'(x)=0$ et donc $h$ est une fonction constante.
		\item  	%En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y' =  ay$.
		D'après la question précédente $h$ est une fonction constante, par conséquent il existe une constante $K\in \R$ telle que :
		$$ h(x)=K\Longleftrightarrow g(x)e^{-ax}=K\Longleftrightarrow g(x)=Ke^{ax}$$
		Ainsi tout fonction $g$ solution de $y'=ay$ s'écrit sous la forme $ g(x)=Ke^{ax}$ avec $K\in\R$.
	\end{enumerate}}
%\vspace*{1cm}

\Exoi{\hfill (9 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]
On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repére orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		On a $\lim\limits_{x\to -\infty} x+2=-\infty$, et comme $\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0$, on a immédiatement :
		$$ \lim\limits_{x\to -\infty}x+2-\dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}=-\infty$$
		\item %Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{1}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		$$ f(x)-(x+2)= \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$$
		qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$, ainsi $\mathscr D_1$ est asymptote à $\mathscr C$ en $-\infty$.
		\item %Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{1}$.
		$$f(x)-(x+2)= \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}>0 $$
		Par conséquent $\mathscr C$ est au dessus de $\mathscr D_1$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$, on a : 
		Pour tout $x\in\R$ on a :
		\begin{eqnarray*}
		& & f'(x)=1-\dfrac{4e^x(e^x+3)-4e^xe^x}{(e^x+3)^2}\\
		& \Longleftrightarrow & f'(x)=1-\dfrac{4e^{2x}+12e^x-4e^{2x}}{(e^x+3)^2}\\
		&\Longleftrightarrow & f'(x)=\dfrac{(e^x+3)^2-12e^x}{(e^x+3)^2}\\
		&\Longleftrightarrow & f'(x)=\dfrac{e^{2x}+6e^x+9-12e^x}{(e^x+3)^2}\\
		&\Longleftrightarrow & f'(x)=\dfrac{e^{2x}-6e^x+9}{(e^x+3)^2}\\
		&\Longleftrightarrow & f'(x)=\dfrac{(e^x-3)^2}{(e^x+3)^2}=\left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2\\
		\end{eqnarray*}
		%\[f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2\]
		\item %Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
		$f'\geq 0$ et $f'=0\Longleftrightarrow e^x-3=0\Longleftrightarrow e^x=3\Longleftrightarrow x=\ln 3$, d'où :
		%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\ln 3}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&&\fm&&\cr
}$$
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Que peut-on dire de la tangente $\mathcal{D}_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point I d'abscisse $\ln 3$ ? 
		L'équation de la tangente est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Ici $f'(\ln 3)=0$, par conséquent $\mathscr D_2$ est parallèle à l'axe des abscisses.
		\item %En utilisant les variations de la fonction $f$, étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{2}$. 
		Comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$, alors $\mathscr C$ est au dessus de $\mathscr D_2$ pour $x>\ln 3$, en dessous pour $x=\ln 3$ et au même endroit pour $x=\ln 3$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la tangente $\mathcal{D}_{3}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation : $y = \dfrac{1}{4} x + 1$. 
		$\mathscr D_3 : y=f'(0)x+f(0)$. Or, $f'(0)=\left(\dfrac{1-3}{1+3}\right)^2=\dfrac{1}{4}$ et $f(0)=2-\dfrac{4}{4}=1$, d'où :
		$$ \mathscr D_3 : y=\dfrac{1}{4}x+1$$
		\item %Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $\mathcal{D}_{3}$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ \ln 3]$. 
		\\
On pourra utiliser la dérivée seconde de $f$ notée $f''$ définie pour tout $x$ de $\R$ par : 
\[ 
	f"(x) =  \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3  \right)^3}.\]
	Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(x) - \left(\dfrac{1}{4}x + 1 \right)$.
\\Etudions son signe.\\
$g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x) = f'(x) - \dfrac{1}{4}$ ;
\\
$g'$ est dérivable sur $\R$ et $g''(x) = f''(x)  = \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3  \right)^3}$ ; ce quotient est du signe de $\text{e}^x - 3$, par conséquent :
\begin{itemize}
\item si $x < \ln 3,~g''(x) < 0$, ce qui signifie que $g'$ est décroissante ;
\item si $x > \ln 3,~g''(x) > 0$, ce qui signifie que $g'$ est croissante.
\item $g'$ admet donc un minimum en $\ln 3$ qui vaut $g'(\ln 3) = f'(\ln 3) - \dfrac{1}{4} = 0 - \dfrac{1}{4} = - \dfrac{1}{4}$.
\end{itemize}
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\ln 3}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g''(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{g'(x)}&&\fd&\txb{-\dfrac{1}{4}}&\fm&\cr
}$$
On remarque que $g'(0) = f'(0) - \dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{-2}{4} \right)^2  - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0$.
\\
On en déduit que sur $]- \infty~;~0[,~g'(x) > 0$, donc $g$ est croissante, puis que sur $]0~;~\ln 3[,~g'(x) < 0$, donc $g$ est décroissante.
Résumons ceci de nouveau par un tableau de variation :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{\ln(3)}\cr
\tx{g'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{g(x)}&&\fm&\txh{0}&\fd&\cr
}$$
$g$ a donc un maximum en $x = 0$ qui vaut $g(0) = f(0) - 1 = 2 - \dfrac{4}{4} - 1 = 0$.
\\
\textbf{Conclusion} : sur l'intervalle $]- \infty~;~\ln 3[$, la fonction $g$ est négative soit $f(x) - \left(\dfrac{1}{4}x + 1 \right) < 0 \iff f(x) < \left(\dfrac{1}{4}x + 1 \right)$, ce qui signifie 
 que $\mathcal{C}$ est au dessous de $\mathcal{D}_{3}$ sur $]- \infty~;~\ln 3[$.
	\end{enumerate}
\item %On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$. \\
%Tracer la courbe  $\mathcal{C}$, les tangentes $\mathcal{D}_{3}, ~\mathcal{D}_{3}$ et les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$. On rappelle que l'unité graphique choisie est 2~cm. 
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{x+2-4*EXP(x)/(EXP(x)+3)}
\psplot[linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{1/4*x+1}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-4.3}{8.5}{(--1.1-0*x)/1}
\psplot[linecolor=qqzzqq]{-4.3}{8.5}{(--2--1*x)/1}
\rput[tl](3.34,4.42){$\qqqqzz{\mathscr C : y=x+2-\dfrac{4e^x}{e^x+3}}$}
\rput[tl](0.56,4.88){$\qqzzqq{\mathscr D_1 : y=x+2}$}
\rput[tl](3.72,1.02){$\ccqqqq{\mathscr D_2 : y=\ln 3}$}
\rput[tl](6,2.48){$\ccqqqq{\mathscr D_3 : y=\dfrac{1}{4}x+1}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}}


\pagebreak

\Exoi{\hfill (9 points)\\
\textbf{Partie A :}
\begin{enumerate}
\item 
La fonction $u$ est dérivable sur $\R$, comme somme des fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto \text{e}^{-x}$, chacune dérivable sur $\R$.
\\
Soit $x\in\R$. Comme $u'(x)=\text{e}^{-x}-x\text{e}^{-x}$, on en déduit : $u'(x)+u(x)=\text{e}^{-x}-x\text{e}^{-x}+x\text{e}^{-x}=\text{e}^{-x}$ : 
\par\medskip
\centerline{\G {$u$ est donc est une solution de l'équation différentielle (E)}}
\par\medskip
\item
On sait d'après le cours que les solutions (sur $\R$) de l'équation  différentielle $y'+ay=0$ sont les fonctions $h_K$ définies sur $\R$ par $h_K(x)=K\text{e}^{-ax}$, avec $K\in\R$. On en déduit : 
\par\medskip
\centerline{\G {Les solutions de l'équation $(E')$ sont les fonctions $h_K$ définies sur $\R$ par $h_{K}(x)=K\text{e}^{-x}$, où $K\in\R$}}
\par\medskip
\item \par
\begin{tabular}[t]{lcl}
$v$ est une solution de l'équation différentielle (E)&$\eq$& $\forall x\in\R\quad v'(x)+v(x)=\text{e}{-x}$\\
&$\eq$& $\forall x\in\R\quad v'(x)+v(x)=u'(x)+u(x)\;{}^{*}$\\
&$\eq$& $\forall x\in\R\quad v'(x)-u'(x)+v(x)-v'(x)=0$\\
&$\eq$& $\forall x\in\R\quad (v-u)'(x)+(v-u)(x)=0$\\
&$\eq$&$v-u$ est une solution de l'équation différentielle (E')\\
\end{tabular}
${}^{*}\;$ car $u$ est une solution de l'équation $y'+y=\text{e}^{-x}$
\par\medskip
\item
Raisonnons encore par équivalence : 
\par\hspace{-1cm}
\begin{tabular}[t]{lcll}
$v$ est une solution de l'équation différentielle (E)&$\eq$& $v-u$ est une solution de l'équation différentielle (E')&d'après Q.3.\\
&$\eq$&Il existe un réel $K$ tel que, pour tout réel $x\;$:\; $(v-u)(x)=K\text{e}^{-x}$&d'après Q.2. \\
&$\eq$&Il existe un réel $K$ tel que, pour tout réel $x\;$:\; $v(x)=K\text{e}^{-x}+u(x)$&\\
 \end{tabular}
 Par suite : 
\par\medskip
\centerline{\G {Les solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions $v_K$ définies sur $\R$ par $v_{K}(x)=K\text{e}^{-x}+x\text{e}^{-x}=(x+K)\text{e}^{-x}$, où $K\in\R$}} 
 \par\medskip
\item 
Soit $g$ une solution de $(E)$ : d'après Q.4, il existe un réel $K$ tel que : $\forall x\in\R\quad g(x)=(K+x)\text{e}^{-x}$.
\\
Comme : $g(0)=2\eq K\text{e}^{0}=2\eq K=2$, on en déduit :
\par\medskip
\centerline{\G {L'unique solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant $g(0)=2$ est la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x)=(x+2)\text{e}^{-x}$.}}
\par\medskip
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B :}
\begin{enumerate}
\item 
La fonction $f_k$ est dérivable sur $\R$ (par exemple en tant que solution, sur $\R$,  de l'équation $(E)$).
\\
On a alors : $\forall x\in\R\quad f'_{k}(x)=\text{e}^{-x}-f_{k}(x)=\text{e}^{-x}-\text{e}^{-x}(x + k)=\text{e}^{-x}(1 - x - k)$.
\\
Puisque $\text{e}^{X}>0$ pour tout réel $X$, le signe de $f'_{k}(x)$ est celui de $1- x -k$. 
\\
Comme $1-x-k\leqslant 0 \eq x\geqslant 1- k$, $f_k$ est croissante sur $]-\infty~;~1-k]$ et décroissante sur $[1-k~;~+\infty[$ : 
 \par\medskip
\centerline{\G {La fonction $f_k$ admet donc un maximum pour  $x=1 - k$.}}
\par\medskip
\item  
$M_k$ a pour coordonnées $(1-k,f_k(1-k))$, soit $(1-k,\text{e}^{-(1-k)})$. Puisque $y_{M_{k}}=\text{e}^{-x_{M_{k}}}$, on a prouvé :
 \par\medskip
\centerline{\G {Le point de la courbe $\mathcal{C}_{k}$ d'abscisse $1- k$ appartient à la courbe $\Gamma$ d'équation $y = \text{e}^{-x}$.}}
\par\medskip
\item
	\begin{enumerate}
		\item
		La fonction $H :  x\mapsto \text{e}^{-x}$ est strictement décroissante sur $\R$, ce qui permet d'identifier immédiatement les deux courbes.
		\item 
$\bullet\;$ $H(0)=1$ :  {\G {L'unité sur l'axe des ordonnées est égale à 2~cm, soit la distance entre deux graduations successives.}}
\par\medskip
$\bullet\;f_k(0)=k$ : comme le point de $\mathcal{C}_{k}$ d'abscisse $0$ a pour ordonnée $2$, on en déduit : {\G {$k = 2$}}
 \par\medskip
$\bullet\;$La résolution de l'équation $f_k(x)=0$ montre que la courbe $\mathcal{C}_{k}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 
$-k=-2 \iff k = 2$ : 
 \par\medskip
\centerline{\G {L'unité sur l'axe des abscisses est aussi égale à 2~cm, soit la distance entre deux graduations successives.}}
\par\medskip
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{center}%Sébastien Sigrist
\def\f{(x+2)*2.718^(-x)}
\def\g{2.718^(-x)}
\def\taille{\footnotesize}
\begin{pspicture}(-4,-2.5)(5,5)
%Construction du repére%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\xmin{-4} \def\xmax{5} \def\ymin{-2} \def\ymax{5}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\uput{0.1}[225](0,0){\taille $O$ }\uput{0.05}[180](0,0.4){\taille $\overrightarrow{j}$}\uput{0.05}[270](0.5,0){\taille $\overrightarrow{i}$ }
%Gtraduations%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\pslabelsep{1pt}
\psaxes[Dx=1,Dy=1,xticksize=-3pt 3pt,yticksize=-3pt 3pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%Tracé des courbes%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{-2.2}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{-1.5}{5}{\g}
%Noms des courbes%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\rput(-1.7,4){$\Gamma$}\rput(-1.7,-1.5){$\mathscr{C}_{k}$}\rput(5,0.2){$x$}\rput(.2,5){$y$}\rput(-4,0.2){$x'$}\rput(.2,-2){$y'$}
%Coloriage de la surface%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psline(0,0)(0,2)\psplot[algebraic=true]{0}{2}{\f}\psline(2,0.541)(2,0)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200]{-1.5}{5}{\g}
\end{pspicture}
\end{center}
}

\end{document}
