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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Le produit scalaire}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction DS 2 : Le produit scalaire}


%\vspace*{1cm}


\Exoi{\textbf{R.O.C} \hfill (2 points)\\
\begin{enumerate}
\item %Soit $\mathscr S$ la sphère de centre $ \varOmega(x_0 ; y_0 ; z_0 )$ et de rayon $ r$, démontrer que $\mathscr S$ admet une équation de la 
%orme : 
%$$(x -x_0 )^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$$ 
$$ M(x;y;z)\in\mathscr S\Longleftrightarrow \varOmegaM^2=r^2\Longleftrightarrow (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$$
\item %Déterminer l’équation de la sphère $\mathscr S$ de diamètre $[AB]$ avec $A(0; 0; 1)$ et $B(1; 2; 3)$. Préciser son 
%centre $\varOmega$ et son rayon $r$. 
Le centre $\varOmega$ a pour coordonnées :
$$ \left(\dfrac{0+1}{2};\dfrac{0+2}{2};\dfrac{1+3}{2}\right)\qquad i.e \qquad \left(\dfrac{1}{2};1;2\right)$$
De plus :
$$ r=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{1+4+4}}{2}=\dfrac{3}{2}$$
Ainsi :
$$ \mathscr S : \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=\dfrac{9}{4}$$
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (10 points)\\
L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$.
 \\
On considère les points A$( -2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.  
		On a $\overrightarrow{AB}(3;2;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(0;2;1)$ d'où :
		$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}= 3\times 0+2\times 2-2\times 1=4-2=2$$
		De plus :
		$$ AB=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}\qquad \text{et}\qquad AC=\sqrt{0+4+1}=\sqrt{5}$$
		\item %En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. 
		On peut calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ d'une autre manière :
		$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\sqrt{5}\times \sqrt{17}\times  \cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\sqrt{85} \cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$$
		D'après la question $1.(a)$ on a $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$, d'où :
		$$ \sqrt{85} \cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=2\Longleftrightarrow  \cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{85}}$$
		Au final : $$  \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\simeq 77^\circ$$
		\item %En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
		Puisque $  \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\simeq 77^\circ$, les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item %Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. 
Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés donc $(ABC)$ désigne un plan.
Soit $\mathscr P$ le plan d'équation $2x-y+2z+2=0$, si on montre que $A$, $B$ et $C$ sont sur le plan $\mathscr P$ alors on peut en déduire que $(ABC)=\mathscr P$.\\
$-4-0+2+2=-4+4=0\Longrightarrow A\in\mathscr P$, de plus $2-2-2+2=0\Longrightarrow B\in\mathscr P$ et enfin $-4-2+4+2=0\Longrightarrow C\in \mathscr P$.
\\
Ainsi $(ABC)=\mathscr P$.
\item %Soient $\mathcal{P}_{1}$, et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et
%$x - 2y + 6z = 0$.
%\\
%Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations
%paramétriques est $$\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&-2\\
%y&=& -1 +  3t\\
%z&=&t
%\end{array}\right.,~t \in  \R$$
$$M(x;y;z)\in\mathscr P_1\cap \mathscr P_2\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c l}x+y-3z+3&=&0\\
x-2y+6z&=&0\end{array}\right.$$
En posant $z=t$, on obtient :
$$ M(x;y;z)\in\mathscr P_1\cap \mathscr P_2\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c l}x+y&=&3t-3\\
x-2y&=&-6t\\z&=&t\end{array}\right.\Longleftrightarrow  \left\{\begin{array}{l c l}3y&=&9t-3\Longrightarrow y=3t-1\\
x-2y&=&-6t\Longrightarrow x=-6t+6t-2=-2\\z&=&t\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2\\
y&=& -1 +  3t\\
z&=&t
\end{array}\right.,~t \in  \R$$
\item %Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. 
On cherche la valeur de $t$ réalisant l'intersection de $\mathscr D$ avec $(ABC)$ :
$$ 2(-2)-(-1+3t)+2t+2=0\Longleftrightarrow -4+1-3t+2t+2=0\Longleftrightarrow -t-1=0\Longleftrightarrow t=-1$$
Ainsi le point d'intersection, disons $E$, de $\mathscr D$ avec $(ABC)$ a pour coordonnées : $(-2;-4;-1)$.
\item  Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.
		$$ \mathscr S : (x-1)^2(y+3)^2+(z-1)^2=9$$
	\\	 
\emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		\item %Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$. 
	Si $M(x;y;z)\in\mathscr S\cap \mathscr D$ on a :
	$$ (-2-1)^2+(-1+3t+3)^2+(t-1)^2=9\Longleftrightarrow 9+9t^2+12t+4+t^2-2t+1=9\Longleftrightarrow 10t^2+10t+5=0\Longleftrightarrow 2t^2+2t+1=0$$
	$\Delta=4-8<0$, autrement dit cette équation n'a pas de solution, preuve que $\mathscr S$ et $\mathscr D$ ne sont pas sécants.
		\item %Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$.
		Si tel était le cas alors la distance entre $\varOmega$ le centre de la sphère et le plan $\mathscr (ABC)$ serait égale au rayon de la sphère.\\
		$$d(\varOmega;\mathscr P)=\dfrac{|2\times 1-1\times (-3)+2\times 1+2|}{\sqrt{4+1+4}} =\dfrac{|2+3+2+2|}{\sqrt{9}}=\dfrac{9}{3}=3$$
		CQFD
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}
\Exoi{\hfill (10 points)\\
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$.
\\
On considère la droite $D$ passant par le point $A$ de coordonnées $(3~;~-4~;~1)$ et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(1~;~-3~;~1)$.
\\
On considère la droite $D'$ dont une représentation paramétrique est:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&-1-t\\
y&=&2+t\quad(t\in\R)\\
z&=&1-t
\end{array}
\right.
\]
On admet qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites  $D$ et $D'$. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$ et de calculer la distance entre les droites $D$ et $D'$, distance qui sera définie à la question \textbf{5.}
\\
On note $H$ le point d'intersection des droites $D$ et $\Delta$, $H'$ le point d'intersection des droites $D'$ et $\Delta$. On appelle $P$ le plan contenant la droite $D$ et la droite $\Delta$. On admet que le plan $P$ et la droite $D'$ sont sécants en $H'$. Une figure est donnée ci-dessous.
\begin{enumerate}
\item %On considère le vecteur $\vect{w}$ de coordonnées $(1~;~0~;~-1)$. Démontrer que $\vect{w}$ est une vecteur directeur de la droite $\Delta$.
$\vec{w}$ dirige $\Delta$ si et seulement si $\vec{w}$ est orthogonal à $\vec{u}$ (vecteur qui dirige $\mathscr D$ mais aussi à $\vec{d'}(-1;1;-1)$ (vecteur qui dirige $\mathscr D'$.\\
$$ \vec{w}\cdot \vec{u}=1+0-1=0\Longleftrightarrow \vec{w}\perp \vec{u}$$
De même :
$$ \vec{w}\cdot \vec{d'}=-1+0+1=0\Longleftrightarrow \vec{w}\perp \vec{d'}$$
Ainsi $\vec{w}\perp \vec{u}$ et $\vec{w}\perp \vec{d'}\Longleftrightarrow \vec{w}$ dirige $\Delta$.
\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~2~;~3)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan $P$.
		$P$ est la plan qui contient $\Delta$ et $D$, par conséquent $\vec{n}$ est normal à $P$ si et seulement si $\vec{n}\perp \vec u$ et $\vec{n}\perp \vec{w}$.\\
		$$ \vec{n}\cdot \vec{u}=3-6+3=6-6=0\Longleftrightarrow \vec n\perp \vec{u}\qquad \text{et}\qquad \vec{n}\cdot \vec{w}=3+0-3=0\Longleftrightarrow \vec{n}\perp \vec{w}$$
		$\vec{n}$ est donc normal à $ P$.
		\item %Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $3x + 2y + 3z - 4 = 0$.
		Puisque $\vec{n}$ est normal à $P$, $P$ a une équation du type :
		$$ 3x+2y+3z+d=0$$
		Comme $A\in P\Longrightarrow 9-8+3+d=0\Longrightarrow d=-4$, ainsi l'équation cartésienne du plan $P$ est $3x + 2y + 3z - 4 = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le point $H'$ a pour coordonnées $(-1~;~2~;~1)$.
		$H'$ est par exemple le point d'intersection de $D'$ et de $P$, donc :
		$$ 3(-1-t)+2(2+t)+3(1-t)-4=0\Longrightarrow -3-3t+4+2t+3-3t-4=0\Longrightarrow -4t=0\Longrightarrow t=0$$
		Donc $H'(-1;2;1)$.
		\item %En déduire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
		$$ M(x;y;z)\in\Delta\Longleftrightarrow \overrightarrow{H'M}=k\vec w\Longleftrightarrow \left\{
\begin{array}{rcl}
x+1&=&k\\
y-2&=&0\quad(k\in\R)\\
z-1&=&-k
\end{array}
\right.\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{rcl}
x&=&-1+k\\
y&=&2\quad(k\in\R)\\
z&=&-k+1
\end{array}
\right.$$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les coordonnées du point $H$.
		Déterminons l'équation paramétrique de $D$, $$ M(x;y;z)\in D\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}=t'\vec{u}\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}
x-3&=&t'\\
y+4&=&-3t'\quad(t'\in\R)\\
z-1&=&t'
\end{array}
\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}
x&=&3+t'\\
y&=&-3t'-4\quad(t'\in\R)\\
z&=&t'+1
\end{array}
\right.$$
		$H$ est commun aux droites $D$ et $\Delta$, par conséquent on cherche $k$ et $t'$ tels que :
		$$\left\{ \begin{array}{rcl}
-1+k&=&3+t'\\
2&=&-3t'-4\Longrightarrow t'=-2\quad(k\in\R)\\
-k+1&=&t'+1\Longrightarrow -k=-2\Longrightarrow k=2
\end{array}
\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}
k&=&3-2+1=2\\
t'&=&-2\quad(k\in\R)\\
k&=&2
\end{array}
\right.$$
Par conséquent les coordonnées de $H$ sont :
$$ H(1;2;-1)$$
		\item %Calculer la longueur $HH'$.
		$\overrightarrow{HH'}(-2;0;2)$, ainsi  $HH'=\sqrt{4+0+4}=2\sqrt{2}$
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
\\
L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point $M$ appartenant à $D$ et tout point $M'$ appartenant à $D'$, $MM'\geqslant HH'$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\vect{MM'}$ peut s'écrire comme la somme de $\vect{HH'}$ et d'un vecteur orthogonal à $\vect{HH'}$.
		$$ \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{H'M'}=\overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{H'M'}$$
		Ainsi $\overrightarrow{MM'}$ est la somme des vecteurs $\overrightarrow{HH'}$ et $\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{H'M'}$. De plus :
		$$ \left(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{H'M'}\right)\cdot \overrightarrow{HH'}=\overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{H'M'}\cdot \overrightarrow{HH'}=0+0=0 $$
		En effet $(MH)\perp (HH')$ puisque $D\perp \Delta$ et $(H'M')\perp (HH')$ puisque $D'\perp \Delta$, ainsi $\vect{MM'}$ s'écrit comme la somme de $\vect{HH'}$ et d'un vecteur orthogonal à $\vect{HH'}$.
		\item %En déduire que $\left\vert\left\vert \vect{MM'}\right\vert\right\vert^2 \geqslant \left\vert\left\vert \vect{HH'}\right\vert\right\vert^2$ et conclure.
		D'après le théorème de Pythagore, on a :
		$$ MM'^2=HH'^2+||\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{H'M'}||^2\Longrightarrow MM'^2\geq HH'^2$$
	\end{enumerate}
\emph{La longueur $HH'$ réalise donc le minimum des distances entre une point de $D$ et une point de $D'$. On l'appelle distance entre les droites $D$ et $D'$}.
\end{enumerate}}



\textbf{Figure exercice 3}

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-3)(6,8)
\psline(-4,6)(-4,0)
\psline(-4,0)(0,-1)
\psline(0,-1)(0,5)
\psline(0,5)(-4,6)
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\psline(0,3)(-8,5)
\psline(0,0)(8,2)
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\psline(-0.25,2.81)(-0.25,3.06)
\pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.24497866312686378}{0.83*cos(t)+-4|0.83*sin(t)+6}\lineto(-4,6)\closepath}
\psline(0,7)(0,-3)
\rput[tl](-0.48,7.09){$\Delta$}
\uput[90](-5.4,4.35){$D$}
\uput[30](0,3){$H$}
\uput[-150](0,0){$H'$}
\uput[90](5,1.25){$D'$}
\psdots[dotstyle=x](-3,3.75)
\uput[-90](-3,3.75){$A$}
\uput[-52](-4,6){$P$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{document}
