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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Nombres Complexes}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{correction du DM 9 : Complexes }

\Exoi{Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z_1=(5-2i)(3i-1)i=(5-2i)(-3-i)=-15-5i+6i+2i^2=-15+i-2=-17+i$
\item $z_2=\dfrac{i(1+i)}{2-3i}=\dfrac{i-1}{2-3i}=\dfrac{(i-1)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\dfrac{2i-3-2-3i}{4+9}=\dfrac{-5}{13}+\dfrac{-i}{13}$
\item $z_3=\dfrac{\sqrt{2}+i}{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i}=\dfrac{2(\sqrt{2}+i)}{1-i}=\dfrac{2(\sqrt{2}+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2(\sqrt{2}+i\sqrt{2}+i-1)}{2}=\sqrt{2}-1+i(\sqrt{2}+1)$
\item $z_4=\dfrac{1}{\sqrt{3}-i}=\dfrac{\sqrt{3}+i}{3+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{1}{4}i$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
}

\Exoi{Dans un repère orthonormal du plan $(O;\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on donne les affixes des points $A$, $B$ et $C$ :
$$ z_A=i\qquad z_B=4-i\qquad z_C=-1+4i$$
\begin{enumerate}
\item %On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.24,-2.6)(5.26,5.44)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.24,-2.6)(5.26,5.44)
\psline(-4,3)(0,1)
\psline(0,1)(3,2)
\psline(3,2)(-1,4)
\psline(-1,4)(-4,3)
\psline(-1,4)(0,1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,1)
\rput[bl](0.08,1.04){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4,-1)
\rput[bl](4.08,-0.96){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1,4)
\rput[bl](-0.92,4.04){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-4,3)
\rput[bl](-4.02,3.18){$B'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,2)
\rput[bl](3.08,2.04){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.5,2.5)
\rput[bl](-0.42,2.54){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %On note $B'$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$, déterminer l'affixe de $B'$.
On a $\overrightarrow{B'A}=\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow z_{\overrightarrow{B'A}}=z_{\overrightarrow{AB}}\Longleftrightarrow z_A-z_{B'}=z_B-z_A\Longleftrightarrow z_{B'}=2z_A+z_B=2i+4-i=4+i$
\item %On note $E$ le point qui vérifie $ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B'A}$. Déterminer l'affixe de $E$.
On a $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B'A}\Longleftrightarrow \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{B'C}\Longleftrightarrow z_E-z_A=z_C-z_{B'}\Longleftrightarrow z_E=z_A+z_C-z_{B'}=i+4i-1-4-i=-5+4i$
\item %Démontrer que le quadrilatère $AEDB'$ est un parallélogramme.
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{B'C}\Longleftrightarrow AECB'$ est un parallélogramme. 
\item %Déterminer l'affixe du centre du parallélogramme $AEDB'$.
Nommons $I$ ce point, $I$ est en particulier le milieu de $ [AC]$, par conséquent :
$$ z_I=\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{i-1+4i}{2}=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{5}{2}i$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{
Le plan complexe $\mathscr P$ est rapporté au repère orthonormal $(O;\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique $3 cm$).\\
On désigne par $A$ le point d'affixe $i$.
À tout point $M$ du plan, distinct de $A$, d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ défini par :
$$ z'=\dfrac{z}{i-z}$$
On note $z=a+ib$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'image du nombre complexe d'affixe $1+2i$. On l'écrira sous forme algébrique.
Si $z=1+2i$ alors $z'=\dfrac{1+2i}{i-1-2i}=\dfrac{1+2i}{-1-i}=\dfrac{(1+2i)(-1+i)}{2}=\dfrac{-1+i-2i-2}{2}=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}i$
\item %Déterminer l'ensemble $\mathscr E$ des points $M(z)$ du plan $\mathscr P$ tels que $z'$ soit un nombre réel.
Pour tout $z\neq i$, on a, en notant $z=a+ib$ : 
\begin{eqnarray*}
& & z' \in\R\\
& \Longleftrightarrow & z'=\overline{z'}\\
& \Longleftrightarrow & \dfrac{z}{i-z}=\dfrac{\overline{z}}{-i-\overline{z}}\\
& \Longleftrightarrow & z(-i-\overline{z})=\overline{z}(i-z)\\
&\Longleftrightarrow & (a+ib)(-i-a+ib)=(a-ib)(i-a-ib)\\
&\Longleftrightarrow & -ai-a^2+iab+b-iab-b=ai-a^2-aib+b+abi-b\\
&\Longleftrightarrow & -ai=ai\\
& \Longleftrightarrow & 2ai=0\Longleftrightarrow a=0
\end{eqnarray*}
L'ensemble cherché $\mathscr E$ est l'ensemble des nombres complexes dont la partie réelle vaut $0$ i.e l'axe des imaginaires, privé de $i$.
\item %Démontrer que l'ensemble $\mathscr F$ des points $M(z)$ du plan $\mathscr P$ tels que $z'$ soit un imaginaire pur est le cercle de centre $\varOmega\left(0;\dfrac{1}{2}\right)$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.
Pour tout $z\neq i$, on a, en notant $z=a+ib$ : 
\begin{eqnarray*}
& & z' \in i\R\\
& \Longleftrightarrow & z'=-\overline{z'}\\
& \Longleftrightarrow & \dfrac{z}{i-z}=-\dfrac{\overline{z}}{-i-\overline{z}}\\
& \Longleftrightarrow & z(-i-\overline{z})=-\overline{z}(i-z)\\
&\Longleftrightarrow & -iz-z\overline{z}=-i\overline{z}+\overline{z}z\\
&\Longleftrightarrow & 2\overline{z}z+i(z-\overline{z})=0\\
&\Longleftrightarrow & 2(a^2+b^2)+i(2ib)=0\\
&\Longleftrightarrow & a^2+b^2-b=0\\
& \Longleftrightarrow & (a-0)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=0\\
& \Longleftrightarrow & (a-0)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\\
&\Longleftrightarrow & M(z) \in \mathscr C\left(\varOmega\left(0;\dfrac{1}{2}\right);\dfrac{1}{2}\right) \text{privé du point d'affixe} i
\end{eqnarray*}
\item %Représenter $\mathscr E$ et $\mathscr F$.
\qquad \begin{center}
\newrgbcolor{wwqqqq}{0.4 0 0}
\newrgbcolor{qqqqww}{0 0 0.4}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.29,-0.67)(0.99,2.15)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.29,-0.67)(0.99,2.15)
\psline[linecolor=wwqqqq](0,-0.67)(0,2.15)
\pscircle[linecolor=qqqqww](0,0.5){1.5}
\rput[tl](0.58,0.77){$\qqqqww{\mathscr F}$}
\rput[tl](0.06,1.98){$\wwqqqq{\mathscr E}$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](0,0.5)
\rput[bl](0.02,0.51){$\Omega$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
}
\end{document}
