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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Exponentielle et équation différentielle}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{correction du DM 8 : Exponentielle et équation différentielle }

\Exoi{A l'instant $t=0$ ($t$ est exprimé en heure), on injecte dans le sang, par piqûre intravéineuse, une dose de $1,8$ unité d'une substance médicamenteuse. On suppose que la substance se répartit instantanément dans le sang et qu'elle est ensuite progressivement éliminée. On note $Q(t)$ la quantité de substance présente dans le sang à l'instant $t$, exprimée en unités adaptées.\\
On admet que le processus d'élimination peut se présenter mathématiquement par l'équation différentielle :
$$ Q'(t)=-\lambda Q(t)$$
où $\lambda$ est un nombre qui sera déterminé expérimentalement.
\begin{enumerate}
\item %Montrer qu'on a $Q'(t)=1,8 e^{-\lambda t}$.\\
$Q$ est solution d'une équation différentielle de la forme $y'=ay$, par conséquent d'après le cours on sait que :
$$ Q(t)=Ke^{-\lambda t}\qquad \text{avec }K\in\R$$
De plus, $Q(0)=1,8\Longleftrightarrow Ke^{-\lambda \times 0}=1,8\Longleftrightarrow K=1,8$, on en déduit donc que :
$$ \forall t\in\R\qquad Q(t)=1,8e^{-\lambda t}$$
%Calculer la valeur de $\lambda$, 
Sachant qu'au bout d'une heure la quantité de substance présente dans le sang a diminué de $30\%$, on a :
$$ Q(1)=\left(1-\dfrac{30}{100}\right) Q(0)=0,7\times 1,8=1,26$$
Or, $Q(1)=1,8e^{-\lambda }\Longleftrightarrow e^{-\lambda}=1,26/1,8=0,7\Longleftrightarrow -\lambda=\ln(0,7)\Longleftrightarrow \lambda =-\ln(0,7)\simeq 3,5667$
%On donnera d'abord la valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à $10^{-4}$ près.
\item %Etudier le sens de variation de $Q$ pour $t\geq 0$, déterminer sa limite en $+\infty$, et tracer la courbe représentative $\mathscr C$ de $Q$ dans le plan $\mathscr P$.
On a, pour tout $t\geq 0$ :
$$ Q'(t)=-1,8\lambda e^{-\lambda t}\simeq -0,64 e^{-\lambda t}$$
Or, comme $e^{-\lambda t}\geq 0$, $Q'(t)<0 \qquad \forall t\geq 0$, par conséquent $Q$ est strictement décroissante sur $\R^+$.
De plus :
$$ \lim\limits_{t\to +\infty}-\lambda t=-\infty\Longrightarrow \lim\limits_{t\to +\infty} 1,8e^{-\lambda t}=0$$
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.4,-2.83)(10.45,3.99)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.35,-2.83)(10.45,7.99)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-2.352222222222223}{10.44777777777778}{1.8*EXP(-(0.36)*x)}
\rput[tl](1.85,3.31){$\qqqqzz{\mathscr C_f:y=1,8e^{-\lambda x}}$}
\rput[bl](-2.25,3.73){\qqqqzz{$f$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %Au bout de combien de temps la quantité de substance présente dans le sang a-t-elle été réduite de moitié ?\\
%On  donnera la valeur exacte et une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près (on ne demande pas la conversion en heures, minutes et secondes).
On cherche la valeur de $t$ telle que $Q(t)=0,9\Longleftrightarrow 1,8 e^{-\lambda t}=0,9\Longleftrightarrow e^{-\lambda t}=0,5\Longleftrightarrow -\lambda t=\ln (0.5)\Longleftrightarrow t=\dfrac{\ln(5)}{-\lambda}\simeq 1,94$
Il a donc fallu attendre presque $2$ heures pour que la quantité de substance présente dans le sang ait diminué de moitié.
\item On décide de réinjecter une dose analogue à l'instant $t=1$ (au bout d'une heure donc), puis aux instants $t=2$, $t=3$, etc.\\
On note $R_n$ la quantité de substance présente dans le sang à l'instant $t=n$, dès que la nouvelle injection est faite.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $R_1=1,8+0,7\times 1,8$
$R_1$ désigne la quantité de substance au bout d'une heure, donc : 
$$ R_1=1,8+Q(1)=1,8+ 1,8\times e^{\ln 0,7}=1,8+1,8\times 0,7$$
\item %Montrer que $R_2=1,8+0,7R_1$ et calculer $R_2$.
$R_2$ désigne la quantité de substance au bout de deux heures, on sait que la quantité de substance diminue de $30\%$ par heure, donc il reste au bout de $2$ heures $70\%$ de $R_1$
 d'où :
$$ R_2=0,7R_1+1,8$$
\item Pour des raisons analogue $R_{n+1}=0,7R_n+1,8$.
\item %Montrer que, pour tout entier $n$, on a :
%$$ R_n=6(1-0,7^{n+1})$$
Soit $\mathscr P(n) : R_n=6(1-0,7^{n+1})$, démontrons cette propriété par récurrence :
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : pour $n=0$, $\mathscr P(0)$ s'écrit $R_0=6(1-0,7)=6\times 0,3=1,8$. Et effectivement on a injecté $1,8$ unité de substance à l'instant $t=0$.\\
La propriété est donc vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} Supposons que $\mathscr P$ soit vraie au rang $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$ i.e :
\\
On suppose que $R_n=6(1-0,7^{n+1})$ et on veut montrer que $R_{n+1}=6(1-0,7^{n+2})$.\\
On sait que $$R_{n+1}=0,7R_n+1,8=0,7\times 6(1-0,7^{n+1})+1,8=4,2-6\times 0,7^{n+1}+1,8=6-6\times 0,7^{n+1}=6(1-0,7^{n+1}) $$
Ainsi la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$, elle est donc héréditaire en plus d'être initialisée à partir du rang $0$, par conséquent :
$$ \forall n\in \N \qquad R_n=6(1-0,7^{n+1})$$
\end{itemize}
\item %Déterminer la limite de $R_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
On a $$ \lim\limits_{n\to +\infty}0,7^{n+1}=0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} 1-0,7^{n+1}=1\Longrightarrow 0,7^{n+1} R_n=6$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$$ f(x)=(x+1)^2e^{-x}$$
\begin{enumerate}
\item %Etudier la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter géométriquement.
On a $f(x)=x^2e^{-x}+2xe^{-x}+e^{-x}$ et on sait que $$ \lim\limits_{x\to +\infty}e^{-x}=0\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty}x^2e^{-x}=0\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to +\infty}2xe^{-x} =0$$
On en déduit que : $$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$$
et donc que $f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$. 
\item %Etudier, lorsque $x$ tend vers $-\infty$, les limites de $f(x)$ et de $\dfrac{f(x)}{x}$. Interpréter géométriquement.
On a :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty}(x+1)^2=+\infty\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to -\infty} e^{-x}=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$$
De plus :
$$ \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{(x+1)^2e^{-x}}{x}=\dfrac{(x+1)^2}{x}e^{-x}$$
Et $$ \lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{(x+1)^2}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty} x=-\infty \qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to -\infty} e^{-x}=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}=-\infty$$
On peut déduire du premier calcul que $f$ n'admet pas d'asymptote horizontale en $-\infty$, puis de la deuxième limite que $f$ n'admet pas d'asymptote oblique en $-\infty$.\\
En effet, $f$ admet une asymptote oblique d'équation $y=ax+b$ en $-\infty$ si et seulement si $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)-(ax+b)=0$. \\
Par conséquent si $f$ admet une asymptote oblique en $-\infty$ on a aussi 
$$\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)-(ax+b)}{x}=0\Longleftrightarrow\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}-a-\dfrac{b}{x}=0\Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}=a \qquad \text{avec} \qquad a\in\R$$ et ici ce n'est pas le cas.
\item %Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
Pour tout $x\in \R$ on a $f'(x)=2(x+1)e^{-x}+(x+1)^2\times (-e^{-x})=(2x+2-(x+1)^2)e^{-x}=(2x+2-x^2-2x-1)e^{-x}=(-x^2+1)e^{-x}$.\\
Comme $e^{-x}>0 \qquad \forall x\in\R$, $f'$ est du signe de $-x^2+1$ polynôme qui admet deux racines (évidentes) $1$ et $-1$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-1}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\infty}&\fd&\txb{0}&\fm&\txh{2e^{-1}}&\fd&\txb{0}\cr
}$$
\item %Tracer la courbe $\mathscr C_f$ (on précisera la tangente au point d'abscisse $0$).
L'équation de la tangente, disons $T$, à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
\\
Or, $f'(0)=e^0=1$ et $f(0)=(0+1)^2e^{-0}=1$ d'où $T : y=x+1$
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{ffqqtt}{1 0 0.2}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.35,-2.83)(10.45,7.99)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.35,-2.83)(10.45,7.99)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-2.352222222222223}{10.44777777777778}{(x+1)^2*EXP(-(x))}
\rput[tl](1.85,3.31){$\qqqqzz{\mathscr C_f:y=(x+1)^2e^{- x}}$}
\psplot[linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{-2.352222222222223}{10.44777777777778}{x+1}
\rput[tl](4.75,5.65){$\ffqqtt{T : y=x+1}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate} }

\Exoi{La fonction suivante permet de modéliser des phénomènes aléatoires se produisant en moyenne trois fois par unité de temps (loi \og gamma trois \fg) :
$$ f(x)=\dfrac{1}{2}x^2e^{-x}\qquad x\geq 0$$
Etudier la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$ (limite en $+\infty$, dérivée et sens de variation)\\
Pour tout $x\in\R^+$, on a :
$$ f'(x)=\dfrac{1}{2}\left(2xe^{-x}+x^2\times(-e^{-x})\right)=\dfrac{1}{2}e^{-x}(2x-x^2)=\dfrac{x}{2}e^{-x}(2-x)$$
et comme pour tout $x\in\R^+$ $\dfrac{x}{2}e^{-x}\geq 0$ $f'(x)$ est du signe de $2-x$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{0}&\fm&\txh{2e^{-2}}&\fd&\cr
}$$
Enfin :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}x^2e^{-x}=0\Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$$
}

Et, pour la forme :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{ffqqtt}{1 0 0.2}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.35,-2.83)(10.45,7.99)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.35,-2.83)(10.45,7.99)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-2.352222222222223}{10.44777777777778}{0.5*x^2*EXP(-(x))}
\rput[tl](1.85,3.31){$\qqqqzz{\mathscr C_f:y=\dfrac{1}{2}x^2e^{- x}}$}
\rput[lt](4.75,5.65){\parbox{1 cm}{$\ffqqtt{}$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}
