  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 4}
\rhead{Limites et continuité}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 7 : Théorème des valeurs intermédiaires - Etude de fonctions }

\Exoi{On se propose de déterminer le nombre de racine(s) du polynôme $P$ définie sur $\R$ par  :
$$ P(x)=4x^4-3x^3+2x^2-x+1$$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $P'$ puis $P''$.
$P$ est une fonction polynôme, $P$ est donc dérivable sur $\R$. On a, 
$$\forall x\in\R \qquad  P'(x)=16x^3-9x^2+4x-1$$
et $P'$ est aussi une fonction polynôme donc $P'$ est dérivable sur $\R$ et : 
$$ \forall x\in\R \qquad P''(x)=48x^2-18x+4$$
\item %Dresser le tableau de signe de $P''$, puis en déduire le tableau de variation de $P'$.
On cherche les racines du polynôme de degré $2$ $P''$.\\
$\Delta=b^2-4ac=18^2-4\times 48\times 4=-444<0$ donc $P''$ n'a pas de racine est un signe constant sur $\R$
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $P''(x)$/1, $P'(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ , +/ $ +\infty$ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item %Déterminer les limites de $P'$ en $+\infty$ et en $-\infty$, en déduire que l'équation $P'(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha_1$ dans $\R$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} P'(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} 16x^3=-\infty\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty} P'(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} 16x^3=+\infty$$
$P'$ est un polynôme donc $P$ est continue sur $\R$, de plus d'après la question précédente $P'$ est strictement croissante sur $\R$ en prenant des valeurs de \og $-\infty$ à $+\infty$ \fg. D'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $P'(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$, notons la $\alpha_1$, et on a d'après la calculatrice :
$$ \alpha_1\simeq 0,4$$
\item %En déduire le tableau de signe de $P'$ puis le tableau de variation de $P$.
D'après les deux questions précédentes on peut dresser le tableau de signe de $P'$ et par conséquent le tableau de variation de $P$ :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $P'(x)$/1, $P(x)$/2}{$-\infty$, $\alpha_1$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{+/ $+\infty$ , -/ $ P(\alpha_1)$, +/$+\infty$ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
On a $P(\alpha_1)\simeq P(0,4)\simeq 0,8$
\item %Calculer les limites de $P$ en $+\infty$ et en $-\infty$, en déduire que $P'(x)>0, \qquad \forall x\in\R$.
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} P'(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} 4x^4=+\infty\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty} P'(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} 4x^4=+\infty$$
D'après le tableau de variation de $P$, on obtient :
$$ \forall x\in \R\qquad P(x)\geq P(\alpha_1)\simeq 0,8>0$$
\item %Conclure.
Comme $P(x)>0$ pour tout $x\in\R$, l'équation $P(x)=0$ n'a pas de solution dans $\R$.
\item On considère le polynôme $Q$ définie sur $\R$ par :
$$ Q(x)=\dfrac{4}{5}x^5-\dfrac{3}{4}x^4+\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+x-1$$
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $Q'(x)=P(x)$.
$Q$ est un polynôme donc $Q$ est dérivable et :
$$ \forall x\in\R\qquad Q'(x)=5\times \dfrac{4}{5}x^4-4\times \dfrac{3}{4}x^3+3\times \dfrac{2}{3}x^2-2\times \dfrac{1}{2}x+1=4x^4-3x^3+2x^2-x+1=P(x)$$
\item %En déduire que l'équation $Q(x)=0$ admet exactement une solution dans $\R$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
On sait que $P(x)>0$ $\forall x\in \R$, donc $Q'(x)>0$ $\forall x\in \R$, d'où :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $Q'(x)$/1, $Q(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ ,  +/$+\infty$ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} Q(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{4}{5}x^5=-\infty\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty} P'(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{4}{5}x^5=+\infty$$
$Q$ est une fonction polynôme donc $Q$ est continue sur $\R$, de plus $Q$ est strictement croissante sur $\R$ en prenant des valeurs de \og $-\infty$ à $+\infty$ \fg, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $Q(x)=0$ admet une unique racine, que l'on note $\alpha_2$. A l'aide de la calculatrice on obtient :
$$ \alpha_2\simeq 0,9$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$ et on note $\mathscr C$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé d'unité 1cm. 
\begin{enumerate}
\item On pose
$g(x)=x^3+3x+8$.\begin{enumerate}
\item %\'Etudiez le sens de variation de $g$
%et montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique
%solution $\alpha$ dont vous donnerez un encadrement d'amplitude
%$10^{-2}$. \footnote{emploi classique du théorème de la bijection.}
$g$ est une fonction polynôme donc $g$ est dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in\R$ on a :
$$ g'(x)=3x^2+3\geq 3>0$$
d'où :
%\begin{center}
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
%\begin{center}
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{2.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$g'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$g(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
%\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "g'(x)", "g(x)"],
%	["\\infty", "", "+", "-\\infty"],
%	["+\\infty", "", "?", "+\\infty"]
%]
\end{center}
De plus, $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}x^3=-\infty \qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} x^3=+\infty$.\\
Ainsi $g$ qui est une fonction polynôme donc continue sur $\R$ est strictement croissante sur $\R$ en prenant ses valeurs dans $\R$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\simeq -1,51$.
\item %Précisez le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
On a immédiatement : 
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\alpha$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$g(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "g(x)", "g(x)"],
%	["\\infty", "", "-", ""],
%	["\\alpha", "0", "+", ""],
%	["+\\infty", "", "?", ""]
%]
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  %\'Etudiez les limites de $f$ en $-\infty$ et
%$+\infty$. 
On a :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\dfrac{x^3}{x^2}=\lim\limits_{x\to -\infty} x=-\infty \qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\dfrac{x^3}{x^2}=\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$$
\item %Calculez $f'(x)$ et dressez le tableau de
%variation de $f$.
$f$ est une fonction rationnelle donc est dérivable sur son ensemble de défintion, à savoir $\R$, par conséquent :
$$ \forall x\in\R, \qquad f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2+1)-(x^3-4)2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{3x^4+3x^2-2x^4+8x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^4+3x^2+8x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x(x^3+3x+8)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{xg(x)}{(x^2+1)^2}$$
Comme $(x^2+1)^2\geq 1$ pour tout $x\in\R$, $f'$ est du signe de $xg(x)$, i.e :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\alpha}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&&\tx{+}&\cr
\tx{x}&&\tx{-}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\txb{f'(x)}&&\txb{+}&\txb{0}&\txb{-}&\txb{0}&\txb{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&&\fd&&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item %Montrez qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$,
%et $d$ tels que
$$ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2+1}=\dfrac{(ax+b)(x^2+1)+cx+d}{x^2+1}=\dfrac{ax^3+bx^2+(a+c)x+b+d))}{x^2+1}$$
Par identification on obtient $a=1$, $b=0$ et donc $c=-1$ et donc $d=-4$ ce qui donne :
$$ f(x)=x+\dfrac{-x-4}{x^2+1}$$
\item %Déduisez en que $\mathscr C$ admet une asymptote oblique $\Delta$
%et étudiez la position de $\mathscr C$ par rapport à $\Delta$.
On a, $\forall x\in\R$ :
$$ f(x)-x=\dfrac{-x-4}{x^2+1}$$
Et $\lim\limits_{x\to \pm \infty} f(x)=\lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{-x}{x^2}= \lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{-1}{x}=0$, par conséquent la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ est asymptote oblique à $\mathscr C$ en $\pm\infty$.\\
$\mathscr C$ rencontre $\Delta$ si et seulement si $$f(x)=x\Longleftrightarrow f(x)-x=0\Longleftrightarrow \dfrac{-x-4}{x^2+1}=0\Longleftrightarrow -x-4=0\Longleftrightarrow x=-4$$
Ainsi $\mathscr C\cap \Delta=A$ où $A(-4;-4)$.
%Vérifiez en particulier que $\mathscr C$ rencontre $\Delta$ en un
%unique point $\Delta$. 
\end{enumerate}
\item %Déterminez les abscisses des
%point $B$ et $B'$ de $\mathscr C$ admettant une tangente parallèle à
%$\Delta$.\footnote{deux droites parallèles ont le même coefficient
%directeur...}
On cherche les éventuels points de $\mathscr C$ admettant une tangente parallèle à $\Delta$ donc le coefficient directeur est $1$. Ainsi on résout :
$$ f'(x)=1\Longleftrightarrow \dfrac{xg(x)}{(x^2+1)^2}=1\Longleftrightarrow xg(x)=x^4+2x^2+1\Longleftrightarrow x^4+3x^2+8x-x^4-2x^2-1=0\Longleftrightarrow x^2+8x-1=0$$
$\Delta=b^2-4ac=64+4=68$ polynôme qui a donc deux racines :
$$ x_1=\dfrac{-8-\sqrt{68}}{2}\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-8+\sqrt{68}}{2}$$
Au final $x_1$ est alors l'abscisse du point $B$, tandis que $x_2$ est l'abscisse du point $B'$.
\item \begin{enumerate}
\item % Vérifiez que $f(\alpha)=\dfrac{3\alpha}{2}$.
On sait que $g(\alpha)=0\Longleftrightarrow \alpha^3+3\alpha+8=0\Longleftrightarrow \alpha^3=-3\alpha-8$, par conséquent :
$$ f(\alpha)=\dfrac{\alpha^3-4}{\alpha^2+1}=\dfrac{-3\alpha-8-4}{\alpha^2+1}=\dfrac{3\alpha(-\alpha-4)}{\alpha^3+\alpha}=\dfrac{3\alpha(-\alpha-4)}{-3\alpha-8+\alpha}=\dfrac{3\alpha(-\alpha-4)}{2(-\alpha-4)}=\dfrac{3}{2}\alpha$$
Ainsi $f(\alpha)\simeq 3\times (-1,51)/2\simeq -2,27$
%D%éduisez en une valeur approchée de $f(\alpha)$.\footnote{utilisez le
%f%ait que $g(\alpha)=0$.}
\item %Tracez $\Delta$, $\mathscr C$ ainsi que les
%points $A$, $B$, $B'$ et $M$, $N$, $P$ d'abscisses respectives 1,
%2 et $-1$, sans oublier les six tangentes en ces points.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{qqwwww}{0 0.4 0.4}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.16,-6.14)(7.41,2.8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.16,-6.14)(7.41,2.8)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-3.164249311294763}{7.414263085399454}{(x^3-4)/(x^2+1)}
\psplot[linecolor=qqwwww]{-3.16}{7.41}{(-0--1*x)/1}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-3.16}{7.41}{(-4.06--1*x)/1}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-3.16}{7.41}{(--0.06--1*x)/1}
\rput[tl](1.45,-0.34){$\qqqqzz{\mathscr C}$}
\rput[tl](1.32,1.46){$\qqwwww{\Delta}$}
\rput[tl](-2.3,-1.38){$\ccqqqq{T_B}$}
\rput[tl](2.04,-2.01){$\ccqqqq{T_{B'}}$}
\psplot[linecolor=green]{-3.16}{7.41}{(-4.5--3*x)/1}
\psplot[linecolor=green]{-3.16}{7.41}{(-2.72--1.76*x)/1}
\psplot[linecolor=green]{-3.16}{7.41}{(-3.5-1*x)/1}
\psplot[linecolor=green]{-3.16}{7.41}{(-0.24--0.94*x)/1}
\rput[tl](-0.62,-0.72){$\green{T_A}$}
\rput[tl](0.32,-1.38){$\green{T_N}$}
\rput[tl](1.08,-1.56){$\green{T_M}$}
\rput[tl](-1.21,-1.81){$\green{T_P}$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*,linecolor=green](1,-1.5)
\rput[bl](0.67,-1.64){\green{$M$}}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*,linecolor=green](2,0.8)
\rput[bl](2.09,0.5){\green{$N$}}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*,linecolor=green](-1,-2.5)
\rput[bl](-0.93,-2.44){\green{$P$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate} }


\end{document}
