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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 4}
\rhead{Limites et continuité}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du DM 6 : Limites et continuité }

\Exoi{
%Rechercher les asymptotes parallèles aux axes que peuvent présenter les courbes représentatives des fonctions suivantes :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{3}{x-2}$\\
La fonction $f$ est ici définie sur $\R\textbackslash\{2\}$, on calcule ses limites aux bornes de son ensemble de définition.
$$ \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)= \lim\limits_{x\to-\infty}  \dfrac{3}{x}=0$$
Ainsi la représentation graphique  de la fonction $f$ admet l'axe des abscisses comme asymptote en $-\infty$.
$$ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)= \lim\limits_{x\to+\infty}  \dfrac{3}{x}=0$$
Ainsi la représentation graphique  de la fonction $f$ admet l'axe des abscisses comme asymptote en $+\infty$.
$$ \lim\limits_{x\to 2^-} x-2=0^-\Longrightarrow \lim\limits_{x\to 2^-}  \dfrac{1}{x-2}=-\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to 2^-}  f(x)=-\infty$$
Ainsi la représentation graphique  de la fonction $f$ admet la droite d'équation $x=2$ comme asymptote verticale en $2^-$.
$$ \lim\limits_{x\to 2^+} x-2=0^+\Longrightarrow \lim\limits_{x\to 2^+}  \dfrac{1}{x-2}=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to 2^+}  f(x)=+\infty$$
Ainsi la représentation graphique  de la fonction $f$ admet la droite d'équation $x=2$ comme asymptote verticale en $2^+$.
\item $f(x)=-\dfrac{1}{x^2}$\\
La fonction $f$ est définie sur $\R^*$, de nouveau on calcule ses limites aux bornes de son ensemble de définition.
$$ \lim\limits_{x\to\pm\infty} x^2=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^2}=0\Longrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$$
Ainsi la fonction $f$ admet l'axe des abscisses comme asymptote en $\pm\infty$.
$$ \lim\limits_{x\to 0} x^2=0^+ \Longrightarrow \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{x^2}=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty  $$
Ainsi la représentation graphique de la fonction $f$ admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.
\item $f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1}$
\\
La fonction $f$ est définie sur $\R\textbackslash\{-1\}$, on calcule encore ses limites aux bornes de son ensemble de définition.
$$ \lim\limits_{x\to\pm\infty}  f(x)= \lim\limits_{x\to\pm\infty}  \dfrac{2x}{x}=2$$
Ainsi la représentation graphique  de la fonction $f$ admet la droite d'équation $y=2$ comme asymptote en $\pm\infty$.\\
$$ \lim\limits_{x\to -1^+}  x+1=0^+\Longrightarrow \lim\limits_{x\to -1^+}  \dfrac{1}{x+1}=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to -1^+}  f(x)=-\infty $$
De même on trouve que $\lim\limits_{x\to -1^-} f(x)=+\infty$. Ainsi la représentation graphique  de la fonction $f$ admet la droite d'équation $x=-1$ comme asymptote verticale
\item $f(x)=\dfrac{1}{x^2-4}$
On a :
$$ \mathscr D_f=]-\infty;-2[\cup ]-2;2[\cup ]2;+\infty[$$
On obtient successivement :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0 \qquad \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0\qquad \lim\limits_{x\to -2^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^+} f(x)=+\infty \qquad \lim\limits_{x\to -2^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=-\infty   $$
On en déduit que $\mathscr C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$, une asymptote verticale d'équation $x=-2$ et une autre asymptote verticale d'équation $x=2$.
\end{enumerate}
%\end{multicols}
}

\Exoi{%Montrer que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote oblique, et étudier sa position par rapport à cette asymptote :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x-2+\dfrac{3}{x}\Longleftrightarrow f(x)-(x-2)=\dfrac{3}{x}$, ce qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $\pm\infty$, ainsi la droite $\mathscr D$ d'équation $y=x-2$ est une asymptote oblique à $\mathscr C_f$ en $\pm\infty$.\\
De plus, 
$$ \forall x>0\qquad f(x)-(x-2)=\dfrac{3}{x}>0$$
Donc $\mathscr C_f$ est au dessus de $\mathscr D$ pour $x>0$. Au contraire si $x<0$, la quantité $\dfrac{3}{x}<0$ et donc $\mathscr D$ est au dessus de $\mathscr C_f$.
\item $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}-x\Longleftrightarrow f(x)-(-x)=\dfrac{1}{x^2-1}$, ce qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $\pm\infty$, ainsi la droite $\mathscr D$ d'équation $y=-x$ est une asymptote oblique à $\mathscr C_f$ en $\pm\infty$.\\
De plus, $$ \forall x\neq 1 \text{ et } -1\qquad f(x)-(-x)=\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$$
Par conséquent :
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$(x-1)$/1,$(x+1)$/1, $f(x)-(-x)$/2}{$ -\infty$,$-1$,$1 $, $+\infty$}% 
\tkzTabLine{ ,  ,- ,  ,z,+ }% 
\tkzTabLine{ , - , z ,  ,+ , }% 
\tkzTabLine{ , + ,  , - , ,+ }% 
%\tkzTabVar{-/  , +/ $ 1$ , -/$-31$, +/ $ $ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
On conclut que $\mathscr C_f$ est au dessous de $\mathscr D$ sur $]-1;1[$, et au dessus sur $]-\infty;-1[\cup ]1;+\infty[$.
\item $f(x)=3x-1-\dfrac{x}{x^2+1}\Longleftrightarrow f(x)-(3x-1)=-\dfrac{x}{x^2+1}$, ce qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $\pm\infty$, ainsi la droite $\mathscr D$ d'équation $y=3x-1$ est une asymptote oblique à $\mathscr C_f$ en $\pm \infty$.\\
De plus, 
$$ \forall x\in \R \qquad x^2+1>0\Longrightarrow \dfrac{x}{x^2+1} \text{ est du signe de $x$}\Longrightarrow f(x)-(3x-1) \text{ est du signe opposé à celui de $x$ }$$
Ainsi, $\mathscr C_f$ est au dessus de $\mathscr D$ pour $x>0$, et inversement pour $x<0$.
\item $f(x)=x-x^{-n}$ pour $n\geq 1$
On a, $\forall x\in\R^*$ :
$$ f(x)-x=-\dfrac{1}{x^n}$$
quantité qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $\pm\infty$, preuve que la droite $\mathscr D$ d'équation $y=x$ est une asymptote oblique à $\mathscr C_f$ en $\pm\infty$.
\\
Lorsque $n$ est pair, on a :
$$ \dfrac{1}{x^n}>0\qquad \forall x\in\R^*$$
Par conséquent lorsque $n$ est pair :
$$\forallx\in\R^* \qquad f(x)-x=-\dfrac{1}{x^n}<0 $$
Dans ce cas $\mathscr C_f$ est au dessous de $\mathscr D$.\\
Si $n$ est impair, alors :
$$ f(x)-x=-\dfrac{1}{x^n}<0\quad  \forall x>0 \qquad \text{et} \qquad f(x)-x=-\dfrac{1}{x^n}>0\quad  \forall x<0$$
Dans ce cas $\mathscr C_f$ est au dessus de $\mathscr D$ lorsque $x<0$ et inversement lorsque $x>0$.
\end{enumerate}
%\end{multicols}
}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}  x^2-a \qquad \qquad \text{si } x\leq 2\\ 5-x \qquad \qquad \text{si } x>2\end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item %Justifier que la fonction $f$ est continue sur $\R\textbackslash \{2\}$
$f$ est une fonction polynôme sur $]-\infty;2[$ donc $f$ est continue sur $]-\infty;2[$, pour les mêmes raisons sur $]2;+\infty[$ $f$ est continue.
\item %Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $2$.
$f$ est continue en $2$ si et seulement si $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)$ c'est-à-dire si et seulement si $$4-a=5-2\Longleftrightarrow 4-a=3\Longleftrightarrow a=1$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{On pose $$ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+x+1}$$
\begin{enumerate}
\item %Montrer qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que, pour tout $x$ :
$$ ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2+x+1}=\dfrac{(ax+b)(x^2+x+1)+cx+d}{x^2+x+1}=\dfrac{ax^3+ax^2+ax+bx^2+bx+b+cx+d}{x^2+x+1}=\dfrac{ax^3+(a+b)x^2+(a+b+c)x+b+d}{x^2+x+1}$$
Par identification, on obtient $a=1$, $a+b=0\Longleftrightarrow b=-1$, $a+b+c=0\Longleftrightarrow c=0$, $b+d=0\Longleftrightarrow d=1$, au final :
$$ f(x)=x-1+\dfrac{1}{x^2+x+1}$$
\item %En déduire que la courbe représentative de $f$ admet, en $+\infty$ et en $-\infty$, une asymptote $\Delta$, et positionner $\mathscr C_f$ par rapport à $\Delta$.
On a ;
$$ f(x)-(x-1)=\dfrac{1}{x^2+x+1}$$
De plus :
$$ \lim\limits_{x\to \pm\infty} x^2+x+1=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x^2=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to\pm\infty} \dfrac{1}{x^2+x+1}=0$$
Au final, $\mathscr C_f$ admet une asymptote oblique $\Delta$ d'équation $y=x-1$, on étudie alors le signe de $f(x)-(x-1)$ i.e celui de $\dfrac{1}{x^2+x+1}$ i.e celui de $x^2+x+1$.\\
$\Delta=1-4<0$, on constate que $x^2+x+1>0$ et donc que $\mathscr C_f$ est au dessus de $\Delta$.
\end{enumerate}}
\end{document}
