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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{h{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{L'essentiel}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction DM 5 : Le produit scalaire, l'essentiel}


\vspace*{1cm}

\vspace*{3mm}
On donne $A(-2;1;4)$, $B(5;-1;0)$, $C(1;2;3)$ et $D(-2;-1;-4)$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'équation cartésienne du plan $\mathscr P$ passant par le point $A$ de vecteur normal  $\overrightarrow{CD}$.
Comme $\overrightarrow{CD}(-3;-3;-7)$ on a :\\
$M(x;y;z)\in\mathscr P\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CD}=0\Longleftrightarrow -3(x+2)-3(y-1)-7(z-4)=0\Longleftrightarrow -3x-3y-7z+25=0$\\
L'équation cartésienne du plan $\mathscr P$ est donc $-3x-3y-7z+25=0$
\item %Soit $\mathscr Q$ le plan d'équation : $ -\dfrac{6}{5}x-\dfrac{6}{5}y-\dfrac{14}{5}z+1=0$. Montrer que $\mathscr P//\mathscr Q$.
$\vec{n}\left(-\dfrac{6}{5};-\dfrac{6}{5};-\dfrac{14}{5}\right)$ est normal au plan $\mathscr Q$, $\overrightarrow{CD}$ est normal au plan $\mathscr P$, et :
$$ \overrightarrow{CD}=\dfrac{5}{2}\vec{n}\Longrightarrow \mathscr P//\mathscr Q$$
\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(BC)$.
Le vecteur $\overrightarrow{BC}(-4;3;3)$ dirige la droite $(BC)$, par conséquent :
$$M(x;y;z)\in(BC)\Longleftrightarrow \overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{BC} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-5=-4t\\ y+1=3t\\ z=3t  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-4t+5\\ y=3t-1\\ z=3t  \end{array} \right.\qquad \text{où} \qquad t\in\R$$
\item %Déterminer les coordonnées du point d'intersection $E$ de $(BC)$ avec $\mathscr P$.
Les coordonnées de  $E(x;y;z)$ vérifient et l'équation paramétrique de $(BC)$ et l'équation cartésienne de $\mathscr P$ :
$$ -3(-4t+5)-3(3t-1)-7(3t)+25=0\Longleftrightarrow 12t-15-9t+3-21t+25=0\Longleftrightarrow -18t+13=0\Longleftrightarrow t=\dfrac{13}{18}$$
La valeur de ce paramètre permet de déterminer les coordonnées du points $E$ qui sont :
$$\left\{ \begin{array}{l} x=-4\times \dfrac{13}{18}+5\\ y=3\times \dfrac{13}{18}-1\\ z=\dfrac{39}{18}  \end{array} \right.$$
\item %Calculer la distance du point $B$ au plan $\mathscr P$.
$$d(B;\mathscr P)=\dfrac{|-15+3+25|}{\sqrt{9+9+49}}=\dfrac{13}{\sqrt{67}}$$
\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AD)$. 
$\overrightarrow{AD}(0;-2;-8)$ dirige $(AD)$, par conséquent :
$$ M(x;y;z)\in (AD)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AD}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+2=-0\\ y-1=-2t'\\ z-4=-8t'  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=-2t'+1\\ z=-8t'+4 \end{array} \right.\qquad \text{où} \qquad t'\in\R $$
\item $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles  si et seulement si $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires. Or, $\overrightarrow{AD}(0;-2;-8)$ et $\overrightarrow{BC}(-4;3;3)$ ont des coordonnées non proportionnelles, par conséquent les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$ ne sont pas colinéaires et donc les droites $(AD)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.\\
Elles sont alors soit non coplanaires soit sécantes, déterminons les éventuelles coordonnées du possible point d'intersection de ces deux droites, pour cela résolvons le système suivant :
$$  \left\{ \begin{array}{l}-4t+5=-2\Longrightarrow -4t=-7\Longrightarrow t=\dfrac{7}{4}\\ 3t-1=-2t'+1\\ 3t=-8t'+4  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\dfrac{7}{4}\\ \dfrac{21}{4}-1=-2t'+1\\ \dfrac{21}{4}=-8t'+4  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\dfrac{7}{4}\\ \dfrac{13}{4}=-2t'\Longrightarrow t'=-\dfrac{13}{8}\\ \dfrac{5}{4}=-8t'\Longrightarrow t'=-\dfrac{5}{32}  \end{array} \right.$$
Ce système n'admet pas de solution, en effet il est impossible que $t'=-\dfrac{13}{8}$ et $-\dfrac{5}{32}$, par conséquent les droites $(AD)$ et $(BC)$ ne sont ni sécantes, ni parallèles.
\item %Déterminer l'équation cartésienne du plan $\mathscr R$ passant par $C$ et dont $\vec{u}(1;2;1)$ est un vecteur normal.
$\mathscr R$ admet une équation de la forme :$$x+2y+z+d=0 $$
Comme $C\in \mathscr R$ on a : $$ 1+4+3+d=0\Longrightarrow d=-8 \Longrightarrow \mathscr R : x+2y+z-8=0$$
\item %Expliquer pourquoi $\mathscr R$ et $\mathscr P$ sont sécants.
Les plans $\mathscr R$ et $\mathscr P$ sont sécants ou parallèles. Le vecteur $\vec{u}(1;2;1)$ dirige $\mathscr R$ et le vecteur $\overrightarrow{CD}(-3;-3;-7)$ dirige $\mathscr P$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, par conséquent les plans $\mathscr R$ et $\mathscr P$ ne sont pas parallèles, et sont donc sécants.
\item %Déterminer la représentation paramétrique de la droite $d=\mathscr R\cap \mathscr P$.
D'après la question précédente, $\mathscr R$ et $\mathscr P$ sont sécants selon (donc) une droite $d$ dont on va déterminer une représentation paramétrique en résolvant le système suivant :
$$ \left\{ \begin{array}{l} -3x-3y-7z+25=0\\ x+2y+z-8=0\end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=t\\
-3x-7z=3t-25\\ x+z=-2t+8\end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=t\\
-3x-7z=3t-25\\ 3x+3z=-6t+24\end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=t\\
-4z=-3t-1\\ x+z=-2t+8\end{array} \right.$$
Au final :
$$ d :  \left\{ \begin{array}{l} y=t\\
z=\dfrac{3}{4} t+\dfrac{1}{4}\\ x=-2t+8-\dfrac{3}{4}t-\dfrac{1}{4}\end{array} \right.\Longleftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} y=t\\
z=\dfrac{3}{4} t+\dfrac{1}{4}\\ x=-\dfrac{11}{4} t+\dfrac{31}{4}\end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-\dfrac{11}{4} t+\dfrac{31}{4}\\ y=t\\
z=\dfrac{3}{4} t+\dfrac{1}{4}\end{array} \right. \qquad \text{où} \quad t \quad \text{ parcourt } \quad \R$$
\item %Déterminer l'équation cartésienne de la sphère $\mathscr S$ de centre $A$ et de rayon $AD$.
$$ M(x;y;z) \in \mathscr S\Longleftrightarrow AM^2=AD^2\Longleftrightarrow (x+2)^2+(y-1)^2+(z-4)^2=4+64 \Longleftrightarrow (x+2)^2+(y-1)^2+(z-4)^2=68$$
\item %Le point $B$ est-il à l'intérieur de la sphère $\mathscr S$. Même question pour le point $C$.
Calculons la distance $AB$ :
$$ AB=\sqrt{(5+2)^2+(-1-1)^2+(0-4)^2}=\sqrt{49+4+16}=\sqrt{69}
$$
Or, $AD=\sqrt{68}$, on constate que $AB>AD$, par conséquent $B$ est à l'extérieur de la sphère $\mathscr S$.\\
De même calculons la distance $AC$ :
$$ AC=\sqrt{(1+2)^2+(2-1)^2+(3-4)^2}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}$$
On constate alors que $AC<AD$, par conséquent $B$ est à l'intérieur de la sphère $\mathscr S$.
\end{enumerate}
\end{document}
