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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Approximation de $\sqrt{2}$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction DM 3 : L'algorithme de Babylone - Approximation de $\sqrt{2}$}


\vspace*{1cm}

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$, définie sur $]0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$$
\begin{enumerate}
\item %Etudier le sens de variation de $f$.
Pour tout $x\in\R^{+*}$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)=\dfrac{x^2-2}{2x^2}$$
$f'(x)\geq 0\Longleftrightarrow x\geq \sqrt{2}$ sur $\R^+$ (bien entendu), ainsi :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{\sqrt{2}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f}&&\fd&\txb{\sqrt{2}}&\fm&\cr
}$$
\item %Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$, et montrer que la représentation graphique $\mathscr C_f$ admet une asymptote oblique $\Delta$.
On a :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x}=0 \qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$$
De plus :
$$ \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{2}{x}=+\infty \qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to 0} x=0\Longrightarrow \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$$
On a :
$$ f(x)-\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{x}\qquad \text{et}\qquad  \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$$
Ainsi $\Delta :y=\dfrac{1}{2}x$ est une asymptote oblique à $\mathscr C_f$.
\item \quad%Représenter graphiquement $\mathscr C_f$ et $\Delta$. Préciser les coordonnées du point d'intersection de $\mathscr C_f$ avec la droite d'équation $y=x$ (que l'on tracera).
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(12.1,12.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{12} \def\ymin{0} \def\ymax{12}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.1)(12.1,12.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0.5 x 2 x div add mul}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.00001}{12}{\F}
\def\G{1 2 div x mul}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{12}{\G}
\def\H{x}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{12}{\H}
\uput[ur](8,3){\textcolor{red}{$\Delta :y=\dfrac{1}{2}x$}}
\uput[ur](8,5.2){\textcolor{blue}{$ C_f :y=f(x)$}}
\uput[ur](8.4,8){$y=f(x)$}
\endpsclip
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,1.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,1.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,1.5)(0,1.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1,1.5)(0,1.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.5)(1.5,1.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,1.5)(1.5,1.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.5,1.5)(1.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1.5,1.5)(1.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.5,0)(1.5,1.41666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1.5,0)(1.5,1.41666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.5,1.41666)(0,1.41666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1.5,1.41666)(0,1.41666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.41666)(1.41666,1.41666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,1.41666)(1.41666,1.41666)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.41666,1.41666)(1.41666,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1.41666,1.41666)(1.41666,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.41666,0)(1.41666,1.41421)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1.41666,0)(1.41666,1.41421)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.41666,1.41421)(0,1.41421)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1.41666,1.41421)(0,1.41421)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.41421)(1.41421,1.41421)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,1.41421)(1.41421,1.41421)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.41421,1.41421)(1.41421,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1.41421,1.41421)(1.41421,0)
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,1.5){\small $u_1$}
\uput[-90](1.5,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,1.41666){\small $u_2$}
\uput[-90](1.41666,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,1.41421){\small $u_3$}
\uput[-90](1.41421,0){\small $u_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Le point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et la première bissectrice a pour coordonnées (à quelque chose près) $(1,5;1,5)$
\end{enumerate}
\item On définit une suite $(u_n)$ par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=f(u_n)=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item %Représenter graphiquement les premiers termes de la suite $(u_n)$ sur le dessin de la question $1)(c)$.
\item %Conjecturer alors le comportement de $(u_n)$ : sens de variation et limite.
La suite $(u_n)$ semble décroissante à partir du rang $1$ et parait converger vers $1,5$. Enfin on verra bien. Enfin, encore, si je me réferre au titre du devoir maison je peux penser qu'elle converge plutôt vers $\sqrt{2}$, dont un vague souvenir me rappelle que $\sqrt{2}\simeq 1,41$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ sous forme fractionnaire.
$$ u_1=\dfrac{3}{2} \qquad u_2=\dfrac{17}{12}\qquad u_3=\dfrac{577}{408}\qquad u_4=\dfrac{665857}{470832}\simeq 1,414$$
Ces quelques calculs confortent mon idée selon laquelle je vais démontrer que :
$$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\sqrt{2}$$
\item Vérifier, à l'aide de la calculatrice, les inégalités :
$$ u_0<\sqrt{2}<u_4<u_3<u_2<u_1$$ 
Voila c'est fait !
\item Montrer par récurrence la propriété $\mathscr P(n)$ pour $n\geq 1$ :
$$ \mathscr P(n) : \sqrt{2}<u_{n+1}<u_n\leq \dfrac{3}{2}$$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} :\\
Pour $n=1$, $u_1=1,5$ et $u_1\simeq 1,42$, on a bien $\sqrt{2}<1,42<1,5\leq 1,5$, ainsi $\mathscr P$ est initialisée.
\item \textbf{Hérédité} : \\
Supposons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$ i.e on suppose que 
$$ \sqrt{2}<u_{n+1}<u_n\leq \dfrac{3}{2}$$
et on souhaite démontrer que (tiens c'est surement la que va servir l'étude de fonction du début) :
$$ \sqrt{2}<u_{n+2}<u_{n+1}\leq \dfrac{3}{2}$$
On a :
\begin{eqnarray*}
 & & \sqrt{2}<u_{n+1}<u_n\leq \dfrac{3}{2}\\
 &\Longleftrightarrow & f(\sqrt{2})<f(u_{n+1})<f(u_n)\leq f(1,5)\qquad car f est \nearrow sur [\sqrt{2};+\infty[\\
 & \Longleftrightarrow &  \sqrt{2}<u_{n+2}<u_{n+1}\leq \dfrac{17}{12}\\
 & \Longleftrightarrow &  \sqrt{2}<u_{n+2}<u_{n+1}\leq \dfrac{3}{2}\\
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
On vient de démontrer que $\mathscr P$ est héréditaire et initialisée, par conséquent pour $n\geq 1$ :
$$ \mathscr P(n) : \sqrt{2}<u_{n+1}<u_n\leq \dfrac{3}{2}$$
%En déduire le sens de variation de $(u_n)$, ainsi que la convergence de $(u_n)$.
Ceci démontre que $(u_n)$ est décroissante à partir de $n=1$ et est minorée par $\sqrt{2}$, par conséquent $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell$$
Or, $$ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)$$
Et lorsque $n$ tend vers $+\infty$ on obtient :
$$ \ell=\dfrac{1}{2}\left(\ell+\dfrac{2}{\ell}\right)\Longleftrightarrow 2\ell =\ell +\dfrac{2}{\ell}\Longleftrightarrow 2\ell^2-\ell^2-2=0\Longleftrightarrow \ell^2=2\Longleftrightarrow \ell=\sqrt{2}\qquad \text{ou} \qquad \ell=-\sqrt{2}$$
Comme $u_n>\sqrt{2}$ pour $n\geq 1$, il est impossible que l'on ait $\ell=-\sqrt{2}$, par conséquent :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\sqrt{2}$$
\end{enumerate}
\item \textbf{Seul les élèves curieux, motivé et à l'aise avec les suites tenteront de traiter cette question.}
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout $n\geq 1$ :
%$$ \left|u_n-\sqrt{2}\right|\leq \dfrac{1}{2}(u_{n-1}-\sqrt{2})^2$$
On a \begin{eqnarray*}
& & u_n-\sqrt{2}\\
&= & f(u_{n-1})-\sqrt{2}\\
&=& \dfrac{1}{2}\left(u_{n-1}+\dfrac{2}{u_{n-1}}\right) -\sqrt{2}\\
& = & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_{n-1}^2+2}{u_{n-1}}\right) -\dfrac{2\sqrt{2}u_{n-1}}{2u_{n-1}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_{n-1}^2+2-2\sqrt{2}u_{n-1}}{u_{n-1}}\right)\\
&=& \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{(u_{n-1}-\sqrt{2})^2}{u_{n-1}}\right)=\dfrac{1}{2}\times (u_{n-1}-\sqrt{2})^2\times \dfrac{1}{u_{n-1}}\\
\end{eqnarray*}
Mais on sait encore d'après la question $3. (c)$, que $\sqrt{2}<u_n\Longleftrightarrow u_n-\sqrt{2}>0$, par conséquent :
$$ \left|u_n-\sqrt{2}\right|=u_n-\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\times (u_{n-1}-\sqrt{2})^2\times \dfrac{1}{u_{n-1}}$$
On sait aussi que pour $n\geq 1$ :
$$ u_{n-1}\geq 1\Longleftrightarrow \dfrac{1}{u_{n-1}}\leq \dfrac{1}{1}=1$$
On peut alors conclure que :
$$ \left|u_n-\sqrt{2}\right|=\dfrac{1}{2}\times (u_{n-1}-\sqrt{2})^2\times \dfrac{1}{u_{n-1}}\leq \dfrac{1}{2}\times (u_{n-1}-\sqrt{2})^2$$
\item %Vérifier que $$ \left|u_0-\sqrt{2}\right|<\dfrac{1}{2}$$
On a $u_0-\sqrt{2}=1-\sqrt{2}\simeq -0,41$, par conséquent :
$$  \left|u_0-\sqrt{2}\right|\simeq 0,4\Longrightarrow \left|u_0-\sqrt{2}\right|<\dfrac{1}{2}$$
%En déduire par récurrence que, pour tout $n\geq 0$ :
Notons $\mathscr P(n) : \left|u_n-\sqrt{2}\right|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{n+1}-1}$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} :\\
pour $n=0$, on vient juste de vérifier que $\left|u_0-\sqrt{2}\right|<\dfrac{1}{2}$ i.e on vient juste d'initialiser $\mathscr P$.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n-1$ (plus pratique) et montrons qu'elle est vraie au rang $n$.\\
On suppose que $\left|u_{n-1}-\sqrt{2}\right|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{n}-1}$\\
On veut montrer que $\left|u_{n}-\sqrt{2}\right|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{n+1}-1}$\\
On a donc, en utilisant la question précédente :
\begin{eqnarray*}
& & \left|u_n-\sqrt{2}\right|\leq \dfrac{1}{2}\times (u_{n-1}-\sqrt{2})^2\\
& \Longleftrightarrow & \left|u_n-\sqrt{2}\right|\leq \dfrac{1}{2}\times \left|u_{n-1}-\sqrt{2}\right|^2\\
& \Longleftrightarrow & \left|u_n-\sqrt{2}\right|\leq \dfrac{1}{2}\times \left|u_{n-1}-\sqrt{2}\right|\times \left|u_{n-1}-\sqrt{2}\right|\\
& \Longleftrightarrow & \left|u_n-\sqrt{2}\right|\leq \dfrac{1}{2}\times  \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{n}-1} \times  \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{n}-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1+2^n-1+2^n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2\times 2^n-1}=\dfrac{1}{2}^{2^{n+1}-1}\\
\end{eqnarray*}
Ainsi la propriété $\mathscr P$ est héréditaire, et donc pour tout $n\geq 0$ :
$$\left|u_n-\sqrt{2}\right|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{n+1}-1}$$
\end{itemize}
\item Prouvons que, pour tout $n\geq 0$, $2^{n+1}-1\geq n+1\Longleftrightarrow 2^{n+1}\geq n+2$.
\\
Procédons par récurrence et notons $\mathscr P(n) : 2^{n+1}\geq n+2$.
\\
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : Pour $n=0$, d'un côté $2^{n+1}=2$ et de l'autre $0+2=2$, ainsi on obtient :
$$ 2^{0+1}\geq 0+2$$
La propriété est initialisée au rang $0$.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$ i.e montrons que :
$$ 2^{n+1}\geq n+2\Longrightarrow 2^{n+2}\geq n+3$$
On a :
$$ 2^{n+2}=2^{n+1}\times 2\geq 2(n+2)=2n+4$$
Et comme $2n+4-n-3=n+1>0$, on a automatiquement $2n+4\geq n+3$, ce qui prouve que :
$$ 2^{n+2}\geq n+3$$
Ainsi $\mathscr P$ est héréditaire, et donc, $$\forall n\in\N, \qquad2^{n+1}-1\geq n+1$$
\end{itemize}
De plus comme $\lim\limits_{n\to +\infty} n+1=+\infty$ on a ::
$$\lim\limits_{n\to +\infty}  2^{n+1}-1=+\infty$$
On peut en conclure que :
$$\lim\limits_{n\to +\infty}  \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{n+1}-1}=\lim\limits_{n\to +\infty}  \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}=0$$
L'inégalité $\left|u_n-\sqrt{2}\right|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{n+1}-1}$ permet de conclure que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty}  u_n=\sqrt{2}$$
%En déduire la limite de $(u_n)$.
\item %A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ tel que :
%$$ (0,5)^{2^{n+1}-1}<10^{-100}$$
La calculatrice donne $(0,5)^{2^{7+1}-1}\simeq 1,72\times 10^{-77}$ et aussi $(0,5)^{2^{8+1}-1}\simeq 1,5\times 10^{-154}$, ainsi le plus petit entier vérifiant $ (0,5)^{2^{n+1}-1}<10^{-100}$ est $n=8$.\\
Ceci signifie que pour $n=8$, en appliquant le résultat de la question $4. (b)$ :
$$\left|u_8-\sqrt{2}\right|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{8+1}-1}<10^{-100}$$
c'est-à-dire que $u_8\simeq \sqrt{2}$ à $10^{-100}$ près.\\
\Rq{Cette suite est remarquable est converge très rapidement vers $\sqrt{2}$, dès le calcul de $u_8$ on connaît les $100$ premières décimales de $\sqrt{2}$}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
