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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Suite arithmético-géométrique}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction DM 2 : Suite arithmético-géométrique}


\vspace*{1cm}

\Cadre[Problème]{Dans une réserve, une population initiale de $1500$ animaux évolue ainsi : chaque année $15\%$ des animaux disparaissent (c'est le bilan global des naissances et des décès) et on introduit $100$ animaux supplémentaires.\\
Décrire l'évolution de cette population au bout de $n$ années (on la note $u_n$, avec $u_0=1500$}

\begin{enumerate}
\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$
$$ u_{n+1}=0,85u_n+100$$
\item Représenter sur l'axe des abscisses les premiers termes de la suite $u_n$ (on a représenté en bleu la droite d'équation $y=0,85x+100$ et en noir la droite d'équation $y=x$.
\begin{center}
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\psset{xunit=0.007cm , yunit=0.007cm}
\begin{pspicture*}(-100.1,-100.1)(1700.1,1700.1)
\def\xmin{-100} \def\xmax{1700} \def\ymin{-100} \def\ymax{1700}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-100.1,-100.1)(1700.1,1700.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1500,0)(1500,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1500,0)(1500,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1500,1375)(0,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1500,1375)(0,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1375)(1375,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,1375)(1375,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1375,1375)(1375,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1375,1375)(1375,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1375,0)(1375,1268.75)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1375,0)(1375,1268.75)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1375,1268.75)(0,1268.75)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1375,1268.75)(0,1268.75)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1268.75)(1268.75,1268.75)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,1268.75)(1268.75,1268.75)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1268.75,1268.75)(1268.75,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1268.75,1268.75)(1268.75,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1268.75,0)(1268.75,1178.4375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1268.75,0)(1268.75,1178.4375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1268.75,1178.4375)(0,1178.4375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1268.75,1178.4375)(0,1178.4375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1178.4375)(1178.4375,1178.4375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,1178.4375)(1178.4375,1178.4375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1178.4375,1178.4375)(1178.4375,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1178.4375,1178.4375)(1178.4375,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1178.4375,0)(1178.4375,1101.67187)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1178.4375,0)(1178.4375,1101.67187)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1178.4375,1101.67187)(0,1101.67187)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1178.4375,1101.67187)(0,1101.67187)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1101.67187)(1101.67187,1101.67187)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,1101.67187)(1101.67187,1101.67187)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1101.67187,1101.67187)(1101.67187,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1101.67187,1101.67187)(1101.67187,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1101.67187,0)(1101.67187,1036.42109)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1101.67187,0)(1101.67187,1036.42109)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1101.67187,1036.42109)(0,1036.42109)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1101.67187,1036.42109)(0,1036.42109)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1036.42109)(1036.42109,1036.42109)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,1036.42109)(1036.42109,1036.42109)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1036.42109,1036.42109)(1036.42109,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1036.42109,1036.42109)(1036.42109,0)
\def\F{0.85 x mul 100 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{1700}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1700}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=500,Dy=500,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1500,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,1375){\small $u_1$}
\uput[-90](1375,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,1268.75){\small $u_2$}
\uput[-90](1268.75,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,1178.4375){\small $u_3$}
\uput[-90](1178.4375,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,1101.67187){\small $u_4$}
\uput[-90](1101.67187,0){\small $u_4$}
\uput[180](0,1036.42109){\small $u_5$}
\uput[-90](1036.42109,0){\small $u_5$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %On note $\alpha$ la solution de l'équation $x=0,85x+100$, déterminer $\alpha$.
On a :
$$ \alpha-0,85\alpha=100\Longleftrightarrow 0,15 \alpha=100\Longleftrightarrow \alpha = 100\times \dfrac{100}{15}=\dfrac{2000}{3}\simeq 6,67$$
\item %On note $(v_n)$ la suite définie par $v_n=u_n-\alpha$.\\
%Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. 
On a :
\begin{eqnarray*}
& & v_{n+1}=u_{n+1}-\alpha \\
& \Longleftrightarrow & v_{n+1}=0,85 u_n+100-\dfrac{2000}{3} \\
& \Longleftrightarrow &  v_{n+1}=0,85u_n-\dfrac{1700}{3}\\
& \Longleftrightarrow & v_{n+1}=0,85\left(u_n-\dfrac{2000}{3}\right)\\
& \Longleftrightarrow & v_{n+1}=0,85(u_n-\alpha)=0,85 v_n
\end{eqnarray*}
$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
\item %En déduire $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
Comme $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $\dfrac{2500}{3}$, par conséquent :
$$ v_n=\dfrac{2500}{3}\times (0,85)^n$$
Et par suite :
$$ v_n=u_n-\alpha\Longleftrightarrow u_n=v_n+\alpha=\dfrac{2500}{3}\times (0,85)^n+\dfrac{2000}{3}$$
\item %Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.
$0,85^n$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, ainsi :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\alpha\simeq 667$$
\item %Que se passe-t-il au bout d'un très grand nombre d'année dans cette réserve.
Au bout d'un long temps, la population de la réserve tends à se stabiliser autour de $667$ animaux !
\end{enumerate}

\end{document}
