  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 9}
\rhead{Complexe}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{correction du DM 13 : Complexe : Application à la géométrie }

%\vspace*{1 cm}


\vspace*{0.7cm}
\begin{footnotesize}
\textbf{Partie I} : On note $j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item\begin{footnotesize}
 Montrer les propriétés suivantes :
\end{footnotesize}
%\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
$j=\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\end{footnotesize}
\\
On sait que $\cos \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ d'où $j=e^{i\frac{2\pi}{3}}=\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\item\begin{footnotesize}
 $j^3=1$
\end{footnotesize}\\
$j^3=\left(e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^3=e^{i\frac{3\times2\pi}{3}}=e^{i2\pi}=1$
\item \begin{footnotesize}
$1+j+j^2=0$
\end{footnotesize}\\
$j^2=\left(e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^2=e^{i\frac{4\pi}{3}}=\cos \dfrac{4\pi}{3}+i\sin \dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, par conséquent :
$$ 1+j+j^2=1+\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$$
\item \begin{footnotesize}
$-j^2=e^{i\frac{\pi}{3}}$
\end{footnotesize}\\
On vient de voir que $j^2=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Longleftrightarrow j^2=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item \begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé direct du plan, on considère les points $M$, $N$ et $P$ d'affixes respectives $m$, $n$ et $p$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
En utilisant la rotation de centre $N$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$, démontrer que $MNP$ est un triangle équilatéral de sens direct, si et seulement si, $ m-n=-j^2(p-n)$
\end{footnotesize}\\
$MNP$ est un triangle équilatéral de sens direct, si et seulement si, l'image de $N$ par la rotation de centre $N$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ est $P$ ce qui équivaut à :
$$ m-n=e^{i\frac{\pi}{3}}(p-n)\Longleftrightarrow m-n=-j^2(p-n)$$
\item \begin{footnotesize}
En déduire que $MNP$ est un triangle équilatéral de sens direct, si et seulement si, $m+nj+pj^2=0$
\end{footnotesize}\\
$MNP$ équilatéral de sens direct équivaut à $m-n=-j^2(p-n)\Longleftrightarrow m-n+j^2p-j^2n=0\Longleftrightarrow m+n(-1-j^2)+j^2p=0\Longleftrightarrow  m+nj+pj^2=0$, puisqu'on a vu que $1+j+j^2=0\Longleftrightarrow -1-j^2=j$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0.3cm}
\begin{footnotesize}
\textbf{Partie II} : Application à un problème de géométrie.\\
On considère un cercle de centre $O$ et des points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ tels que :
$$ \left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)= \left(\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OD}\right)= \left(\overrightarrow{OE};\overrightarrow{OF}\right)=\dfrac{\pi}{3}$$
$M$, $N$ et $P$ sont respectivement les milieux des segments $[BC]$, $[DE]$ et $[FA]$.
\\
Les affixes des points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $M$, $N$ et $P$ sont notées respectivement $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $m$, $n$ et $p$.
\end{footnotesize}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Exprimer $m$, $n$ et $p$ en fonction de $a$, $b$, $c$, $d$, $e$  et $f$.
\end{footnotesize}\\
Comme $M$, $N$ et $P$ sont respectivement les milieux des segments $[BC]$, $[DE]$ et $[FA]$ on a :
$$ m=\dfrac{b+c}{2}\qquad n=\dfrac{d+e}{2}\qquad \text{et} \qquad p=\dfrac{f+a}{2}$$
\item \begin{footnotesize}
A l'aide de la partie $I$ démontrer que $MNP$ est un triangle équilatéral de sens direct.
\end{footnotesize}\\
D'après la partie $I$, $MNP$ est un triangle équilatéral de sens direct si et seulement si $m+nj+pj^2=0$.\\
Il s'agit donc de prouver que $m+nj+pj^2=0$. Allons-y :
$$ m+nj+pj^2=\dfrac{b+c+dj+ej+fj^2+aj^2}{2}$$
Or, considérons la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$, on sait d'après les données de l'énoncé que l'image de $C$ par cette rotation est $D$, mais encore que celle de $E$ est $F$ et aussi que celle $A$ est $B$, d'où les trois égalités suivantes :
$$ b=e^{i\frac{\pi}{3}}a\qquad f=e^{i\frac{\pi}{3}}e\qquad \text{et}\qquad d=e^{i\frac{\pi}{3}}c$$
Reprenons notre calcul :
$$ m+nj+pj^2=\dfrac{e^{i\frac{\pi}{3}}a+c+e^{i\frac{\pi}{3}}cj+ej+e^{i\frac{\pi}{3}}ej^2+aj^2}{2}$$
Utilisons les résultats démontrés dans la première partie, $-j^2=e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $j^3=1$, on a alors :
$$m+nj+pj^2=\dfrac{a(e^{i\frac{\pi}{3}}+j^2)+c(e^{i\frac{\pi}{3}}j+1)+e(j+e^{i\frac{\pi}{3}}j^2)}{2}=\dfrac{a(-j^2+j^2)+c(-j^3+1)+ej(1-j^3)}{2}=0$$
\end{enumerate}
Ainsi le triangle $MNP$ est équilatéral de sens direct.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.88,-6.74)(8.55,6.3)
\pscircle(0,0){5}
\psline(0,0)(2.5,-4.33)
\psline(2.5,-4.33)(5,0)
\psline(0,0)(5,0)
\psline(-4.19,2.72)(0,0)
\psline(0,0)(0.26,4.99)
\psline(0.26,4.99)(-4.19,2.72)
\psline(-4.88,-1.1)(0,0)
\psline(0,0)(-1.48,-4.78)
\psline(-1.48,-4.78)(-4.88,-1.1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-4.19,2.72)(-4.88,-1.1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0.26,4.99)(5,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-1.48,-4.78)(2.5,-4.33)
\psline[linewidth=1.2pt](-4.54,0.81)(0.51,-4.55)
\psline[linewidth=1.2pt](0.51,-4.55)(2.63,2.5)
\psline[linewidth=1.2pt](2.63,2.5)(-4.54,0.81)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,0)
\rput[bl](0.08,0.1){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.5,-4.33)
\rput[bl](2.64,-4.65){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](5,0)
\rput[bl](5.1,0.1){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.26,4.99)
\rput[bl](0.35,5.09){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-4.19,2.72)
\rput[bl](-4.57,2.78){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-4.88,-1.1)
\rput[bl](-4.78,-1.01){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1.48,-4.78)
\rput[bl](-1.39,-4.67){$F$}
\psdots[dotstyle=+](2.63,2.5)
\rput[bl](2.74,2.63){$M$}
\psdots[dotstyle=+](0.51,-4.55)
\rput[bl](0.74,-4.43){$P$}
\psdots[dotstyle=+](-4.54,0.81)
\rput[bl](-4.45,0.95){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}
