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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

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	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 8}
\rhead{Logarithme décimal}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{correction du DM 12 : Logarithme népérien }

%\vspace*{1 cm}

\vspace*{1cm}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\quad \forall x\in\R^* \qquad \text{et} \qquad g(0)=0 $$
\end{footnotesize}
% \begin{enumerate}
\begin{footnotesize}
Que doit-on prouver pour démontrer que $g$ est continue en $0$ (et donc sur $\R$) ?\\
\end{footnotesize}
Pour démontrer que $g$ est continue en $0$ il faut montrer que $\lim\limits_{x\to 0} g(x)=g(0)=0$. Notons que $g$ est continue pour tout $x\in\R^*$.
\begin{footnotesize}\\
\textbf{Objectif : Démontrer que la fonction $g$ est continue en $0$ de deux manières différentes.}
\end{footnotesize}
\item \begin{footnotesize}
\textbf{$1^\text{ère}$ méthode} : Etude de $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$ en utilisant le théorème des gendarmes.
\end{footnotesize}
\\
Soit $h$ la fonction définie sur $\R^+$ par : $$ h(X)=\ln(X+1)-X$$ 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Calculer $\lim\limits_{X\to 0^+} h(X)$.
\end{footnotesize}
$$\lim\limits_{X\to 0^+} h(X)=\ln(0+1)-0=0$$
\item \begin{footnotesize}
Etudier les variations de $h$, puis dresser son tableau de variations sur $\R^+$.
\end{footnotesize}\\
$h$ est une fonction dérivable sur $\R^+$ et on a :
$$ h'(x)=\dfrac{1}{x+1}-1=\dfrac{1-x-1}{x+1}=\dfrac{-x}{x+1}$$
$h'$ est du signe de $-x$ sur $\R^+$ puisque $x+1>0$, par conséquent $h'<0$ sur $\R^+$, et on a :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{2.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$h'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$h(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$0$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \begin{footnotesize}
En déduire que :
$$ \forall X\in\R^+ \qquad \ln(X+1)\leq X$$
\end{footnotesize}
On vient de démontrer que $\lim\limits_{x\to 0} h(x)=0$ et que $h$ est une fonctions strictement décroissante sur $\R^+$, par conséquent :
$$ \forall x\in\R^+ \qquad h(x)\leq 0\Longleftrightarrow \ln(x+1)-x\leq 0\Longleftrightarrow \ln(x+1)\leq x$$
\item \begin{footnotesize}
En déduire que :
$$ \forall x\in\R \qquad 0\leq \ln(x^2+1)\leq x^2$$
\end{footnotesize}
Pour tout $x\in\R$ $x^2\geq 0$, par conséquent $x^2+1\geq 1$, or $\ln$ est une fonction strictement croissante sur $\R^+$, par conséquent :
$$ \ln(x^2+1)\geq \ln 1=0$$
De plus on a démontré dans la question précédente que pour tout $X\in\R^+$ on a $\ln(X+1)\leq X$, en posant $X=x^2$, on a alors pour tout $x\in\R$ :
$$ \ln(x^2+1)\leq x^2$$
Au final :
$$ \forall x\in\R \qquad 0\leq \ln(x^2+1)\leq x^2$$
\item \begin{footnotesize}
Déduire de la question précédente :
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
$\forall x\in\R^{+*}$ :
$$ 0\leq \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\leq x$$
\end{footnotesize}\\
Pour tout $x\in\R^{+*}$, on a d'après la question précédente :
$$  0\leq \ln(x^2+1)\leq x^2\Longleftrightarrow \dfrac{0}{x}\leq \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\leq x\Longleftrightarrow 0\leq \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\leq x$$
\begin{footnotesize}
En déduire $\lim\limits_{x\to 0^+}  \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$.
\end{footnotesize}\\
De plus on sait que $\lim\limits_{x\to 0^+} x=0=\lim\limits_{x\to 0^+} 0$, par conséquent d'après le théorème des gendarmes on conclut que :
$$\lim\limits_{x\to 0^+}  \dfrac{\ln(x^2+1)}{x} =0$$
\item \begin{footnotesize}
$\forall x\in\R^{-*}$ :
$$ x\leq \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\leq 0$$
\end{footnotesize}\\
On sait que pour tout $x\in\R$ on a $0\leq \ln(x^2+1)\leq x^2$, par conséquent pour tout $x<0$ on a :
$$ 0\leq \ln(x^2+1)\leq x^2\Longleftrightarrow \dfrac{0}{x}\geq \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\geq x\Longleftrightarrow  x\leq \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\leq 0$$
\begin{footnotesize}
En déduire $\lim\limits_{x\to 0^-}  \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$.
\end{footnotesize}\\
De plus $\lim\limits_{x\to 0^-} x=0=\lim\limits_{x\to 0^-} 0$, par conséquent d'après le théorème des gendarmes on conclut que :
$$\lim\limits_{x\to 0^-}  \dfrac{\ln(x^2+1)}{x} =0$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Conclure.
\end{footnotesize}
\\
Comme $\lim\limits_{x\to 0^-}  \dfrac{\ln(x^2+1)}{x} =0$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}  \dfrac{\ln(x^2+1)}{x} =0$, on a :
$$ \lim\limits_{x\to 0}  \dfrac{\ln(x^2+1)}{x} =0$$
Par conséquent $g$ est continue en $0$.
\end{enumerate}
\item\begin{footnotesize}
 \textbf{$2^\text{ème}$ méthode} : Etude de  $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$ en utilisant la définition du nombre dérivée.\\
On rappelle que si $f$ est une fonction dérivable en $a$ alors :
$$ f'(a)=\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer une fonction $f$ et un réel $a$ tel que :
$$ \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$$
\end{footnotesize}\\
En posant $f(x)=\ln(x^2+1)$ et $a=0$ on a, puisque $\ln(0^2+1)=0$ :
$$\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} $$
\item \begin{footnotesize}
Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in\R$.
\end{footnotesize}\\
Pour tout $x\in\R$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$$
\item \begin{footnotesize}
En déduire $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$, puis conclure.
\end{footnotesize}\\
$f$ est une fonction dérivable en $0$, par conséquent :
$$ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}= f'(0)=\dfrac{2\times 0}{0^2+1}=0$$
\end{enumerate}
\end{document}
