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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 8}
\rhead{Logarithme décimal}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{correction du DM 11 : Logarithme décimal }

\vspace*{1 cm}

\textbf{Partie I: Etude de la fonction logarithme décimal.} 
\\
On considère la fonction $\log$, aussi appelé logarithme décimal, définie sur $\R^{+*}$ par :
$$ \log(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$$

\begin{enumerate}
 \item \begin{scriptsize}
Déterminer les limites de $\log$ en $+\infty$ et en $0^+$. Peut-on en déduire l'existence d'une asymptote.
\end{scriptsize}
\\
On sait que $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln (x)=+\infty$ et $\ln 10>\ln 1=0$ d'où :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}  \log(x)=+\infty$$
De plus on sait que $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln (x)=-\infty$ et $\ln 10>\ln 1=0$ d'où :
$$ \lim\limits_{x\to 0^-}  \log(x)=-\infty$$
\item \begin{scriptsize}
Etudier les variations de la fonction $\log$. Dresser son tableau de variation sur $\R^{+*}$.
\end{scriptsize}
\\
Pour tout $x\in\R^{+*}$ on a :
$$ \log'(x)=\dfrac{1}{\ln10}\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x\ln10}$$
qui est du signe de $x\ln 10$, mais sur $\R^{*+}$, $x>0$ et $\ln 10>0$ d'où $log'(x)>0$ et on en déduit le tableau de variations de la fonction $\log$ :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{2.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "f'(x)", "f(x)"],
%	["0", "", "+", "-\\infty"],
%	["+\\infty", "", "?", "+\\infty"]
%]
\item\begin{scriptsize}
 Montrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ et pour tout $y\in\R^{+*}$ on a :
$$ \log(xy)=\log x+\log y\qquad \text{et}\qquad \log \dfrac{x}{y}=\log x-\log y$$
\end{scriptsize}\\
Pour tout $x\in\R^{+*}$ et pour tout $y\in\R^{+*}$ on a :
$$ \log(xy)=\dfrac{\ln(xy)}{\ln10}=\dfrac{\ln x+\ln y}{\ln 10}=\dfrac{\ln x}{\ln10}+\dfrac{\ln y }{\ln 10}=\log x+\log y$$
Pour tout $x\in\R^{+*}$ et pour tout $y\in\R^{+*}$ on a :
$$ \log\left(\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{\ln\frac{x}{y}}{\ln10}=\dfrac{\ln x-\ln y}{\ln 10}=\dfrac{\ln x}{\ln10}-\dfrac{\ln y }{\ln 10}=\log x-\log y$$
\item \begin{scriptsize}
Montrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ et pour tout $n\in\Z$ on a :
$$ \log(x^n)=n\log x$$
\end{scriptsize}
\\
Pour tout $x\in\R^{+*}$ et pour tout $n\in\Z$ on a :
$$ \log\left(x^n\right)=\dfrac{\ln \left(x^n\right)}{\ln 10}=\dfrac{n\ln x}{\ln10}=n\log x$$
\end{enumerate}
\pagebreak
\textbf{Partie II : Ecriture Scientifique (caractéristique et mantisse), et logarithme décimal}

\\
Tout nombre réel $x$ strictement positif admet une écriture scientifique de la forme :
$$ x=a\times 10^n\qquad \text{avec }a\in[1;10[ \text{ et } n\in\Z $$
%On dit alors que $a$ est la \underline{caractéristique} de $x$ et $n$ sa \underline{mantisse}.
\begin{enumerate}
\item \begin{scriptsize}
Donner l'écriture scientifique de $1450$, puis de $0,000314$.
\end{scriptsize}\\
$1450=1,45\times 10^3$ et $0,000314=3,14\times 10^{-4}$.
\item \begin{scriptsize}
Montrer que $\log (1450)=3+\log(1,45)$. Proposer une écriture semblable pour $\log(0,000314)$.
\end{scriptsize}\\
$\log 1450=\dfrac{ln 1450}{ln 10}=\dfrac{\ln 1,45\times 10^3}{\ln 10}=\dfrac{\ln 1,45}{\ln 10}+\dfrac{3\ln 10}{\ln 10}=\log 1,45
+3$ et $\log 0,000314=\log 3,14\times 10^{-4}=\log 3,14+\log 10^{-4}=\log 3,14-4\log 10=\log 3,14-4$.
\item \begin{scriptsize}
Montrer qu'il existe un réel $a\in[1;10[$ et un entier $n$ tels que   
$$\log x=n+\log a$$
\end{scriptsize}\\
Soit $x$ un réel positif alors $x$ admet une écriture scientifque de la forme $x=a\times 10^n$ avec $a\in[1;10[$ et  $n\in \Z$, alors :
$$ \log x=\log a\times 10^n=\log a+\log 10^n=\log a+n\log 10=\log a+n$$
\Rq{\begin{itemize}
\item Puisque la fonction $\log$ est croissante sur $\R^{+*}$, pour tout réel $a$ compris entre 1 et 10 (exclu), $\log(a)$ est compris entre 0 et 1. L'entier relatif $n$ est donc la partie entière de $\log(x)$ et $\log(a)$ la partie décimale à ajouter à $n$ pour obtenir $\log(x)$.
\item La partie entière de $\log(x)$ est appelée la \textbf{caractéristique} du $\log$.
\item La partie décimale à rajouter à la partie entière s'appelle la \textbf{mantisse}.
\end{itemize}
}
\end{enumerate}

\textbf{Partie III : Effectuer sans calculatrice un calcul en utilisant une table du logarithme décimal}
\begin{enumerate}
\item \begin{scriptsize}
Montrer que $\log(1,5)=\log 15-1$. En déduire à l'aide de la table la valeur à $10^{-4}$ près de $\log 1,5$.\\
\end{scriptsize}
\\
$\log(1,5)=\log \dfrac{15}{10}=\log 15-\log 10=\log 15-\dfrac{\ln 10}{\ln 10}=\log 15-1$. 
Le tableau ci-après donne une valeur approchée de $\log 15\simeq 1,17609$, par conséquent on en déduit que $\log 1,5\simeq 1,17609-1=0,17609\simeq 0,1761$.
\item \begin{scriptsize}
En utilisant un raisonnement analogue, lire sur la table la valeur à $10^{-4}$ près de $\log 3,2$.
\end{scriptsize}\\
De la même manière on montre que $\log 3,2=\log 32-1\simeq 0,5051$. 
\item \begin{scriptsize}
En utilisant l'égalité $\log(xy)=\log x+\log y$, montrer que : $\log (1,5\times 3,2)\simeq 0,6812$.
\end{scriptsize}\\
$\log (1,5\times 3,2)=\log 1,5+\log 3,2\simeq 0,1761+0,5051= 0,6812$ 
\item \begin{scriptsize}
En utilisant la table des log, en déduire que $1,5\times 3,2\simeq 4,8$.
\end{scriptsize}\\
En observant la table des log on s'aperçoit que $\log 48\simeq 1,6812\Longrightarrow \log 4,8\simeq 0,6812$ et donc que $1,5\times 3,2\simeq 4,8$.
\item \begin{enumerate}
\item \begin{scriptsize}
A l'aide de la table des logarithmes montrer que :
$$ \log \sqrt[3]{50}\simeq 0,56$$
\end{scriptsize}
On sait que $50^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3}\ln 50}$. \\
On a donc :
$$\log \sqrt[3]{50}=\log 50^{\frac{1}{3}}=\dfrac{\ln 50^{\frac{1}{3}}}{\ln 10}=\dfrac{\ln e^{\frac{1}{3}\ln 50}}{\ln 10}=\dfrac{\frac{1}{3}\ln 50}{\ln 10}=\dfrac{\log 50}{3}$$
D'après la table des logarithmes décimaux $\log 50\simeq 1,69897$, par conséquent $\log \sqrt[3]{50}\simeq \dfrac{1,69}{3}\simeq 0,56$.
\item \begin{scriptsize}
Constater, à l'aide de la table des logarithmes que $\log 37-1\simeq 0,56$.
\end{scriptsize}\\
D'après la table des logarithmes $\log 37=1,56\Longrightarrow \log 3,7=\log 37-1\simeq 0,56$
\item \begin{scriptsize}
En déduire que $\sqrt[3]{50}\simeq 3,7$.
\end{scriptsize}\\
On a donc $\log 3,7\simeq \log \sqrt[3]{50}\Longrightarrow  \sqrt[3]{50}\simeq 3,7$.
\end{enumerate}
\item \begin{scriptsize}
En utilisant une démarche similaire, démontrer à l'aide de la table du logarithme décimal que :
$$ \sqrt[4]{70}\simeq 2,9$$
\end{scriptsize}\\
$$ \log \sqrt[4]{70}=\dfrac{\log 70}{4}\simeq \dfrac{1,84}{4}=0,46\qquad \text{or} \qquad \log 29\simeq 1,46\Longrightarrow \log 2,9\simeq 0,46\qquad \text{d'où}\qquad \sqrt[4]{70}\simeq 2,9$$
\end{enumerate}


\pagebreak

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.95]{tables.eps}
\end{center}
\end{document}
