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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
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\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Nombres Complexes}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{correction du DM 10 : Complexes }

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{cercle_complet.1}
\end{center}
On utilise assez souvent les valeurs des cosinus et des sinus que l'on peut lire sur le cercle trigonométrique ci-contre :
\textbf{Partie A} : D'où viennent ces curieux résultats ?
\begin{enumerate}
\item Considérons un triangle $ABC$ rectangle et isocèle en $A$ avec $AB=1$. Montrer que $BC=\sqrt{2}$.\\
D'après Pythagore, c'est immédiat.
\item A l'aide de la trigonométrie de collège, montrer que :
$$ \cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad \text{et}\qquad \sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\end{enumerate}
Par symétrie ou en raisonnant de manière identique dans des triangles particuliers, on démontre aisément tous les autres résultats inscrit sur le cercle trigonométrique. 
Dans la suite de ce DM, on se demande comment trouver les cosinus et les sinus d'autres angles, moins particulier. 
\end{multicols}
\textbf{Partie B} : Où l'on détermine le $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et le $\sin \dfrac{7\pi}{12}$.
\begin{enumerate}
\item Effectivement : $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{12}$.
\item Dans un repère orthonormal on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives :
$$ z_A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\qquad \text{et}\qquad z_B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\begin{enumerate}
\item 
 %Déterminer le module et un argument des deux nombres complexes $z_A$ et $z_B$.
 $$ |z_A|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}= \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$$
 $$  |z_B|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}= \sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}=1$$
 Etant donné que le module de chacun de ses nombres complexes vaut $1$, on peut les écrire sous la forme $\cos\theta+i\sin\theta$ :
$$ z_A=\cos\theta+i\sin\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\Longrightarrow \cos\theta=\dfrac{1}{2} \quad \text{et}\quad \sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow \theta=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$$
$$ z_B=\cos\theta+i\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\Longrightarrow \cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad \text{et}\quad \sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Longrightarrow \theta=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$$
\item %Déterminer une forme trigonométrique de $z_A$ et $z_B$, puis une forme exponentielle.
$$ z_A=\cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin \dfrac{\pi}{3}=e^{i\frac{\pi}{3}}\qquad \text{et}\qquad z_B=\cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4}=e^{i\frac{\pi}{4}}$$
\item %Déterminer la forme algébrique de $z_C=z_A\times z_B$.
$$ z_A\times z_B=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt2-\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}i$$
\item %Déterminer le module et un argument de $z_C$, en déduire une écriture exponentielle de $z_C$.
$ |z_C|=|z_A|\times |z_B|=1$ et $arg(z_C)=arg(z_A)\times arg(z_B)=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}[2\pi]=\dfrac{7\pi}{12}[2\pi]$.
$$ z_C=\cos \dfrac{7\pi}{12}+i\sin\dfrac{7\pi}{12}=e^{i\frac{7\pi}{12}}$$
\item %En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{7\pi}{12}$.
Ainsi :
$$ \cos \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt2-\sqrt{6}}{4}\qquad \text{et}\qquad \sin \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C} : 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la forme algébrique du nombre complexe :
$$ z_D=\dfrac{z_A}{z_B}=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}=\dfrac{(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{2}-\sqrt{2}i)}{2+2}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i$$
Le module de $z_D$ est le quotient des modules, donc $1$ ici, et l'argument de $z_D$ est la différence des arguments donc $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{12}$ ici, par conséquent :
$$ z_D=e^{i\frac{\pi}{12}}$$
%puis en donner une écrire sous forme exponentielle.
\item On en déduit $$\cos \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \qquad \text{et}\qquad \sin \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$
\item Comme $\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{12}$, posons :
$$ z_F=\dfrac{e^{i\frac{\pi}{6}}}{e^{i\frac{\pi}{4}}}=e^{-i\frac{\pi}{12}}=\cos\dfrac{-\pi}{12}+i\sin\dfrac{-\pi}{12}$$
Déterminons alors la forme algébrique de $z_F$ :
$$ z_F=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{2}-\sqrt{2}i)}{4}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}i$$
On conclut alors que :
$$ \cos\dfrac{-\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\qquad \text{et}\qquad \sin\dfrac{-\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$
\end{enumerate}
\end{document}
