

  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 BACCALAUREAT GENERAL ROSE
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2012}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-NON SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
A rendre pour le  : \textbf{24/04/2012}. COEFFICIENT : \textbf{7}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac Rose}
\rhead{Avril 2012}


\Cr{BAC Rose}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
\textbf{Partie A} :
On rappelle que pour tous les points $E$ et $F$ de l'espace, $EF^2=\overrightarrow{EF}^2=\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{EF}$.\\
Soient $A$ et $B$ deux points disctincts de l'espace et $I$ le milieu de $[AB]$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $M$ de l'espace, on a :
$$ MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{1}{2}AB^2$$
\item Déterminer la nature de l'ensemble $(E)$ des points $M$ de l'espace tels que :
$$ MA^2+MB^2=AB^2$$
\end{enumerate}
\textbf{Partie B} :
\\
L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec j,\vec k)$.\\
On considère les plans $\mathscr P$ et $\mathscr Q$ d'équations respectives : $3x+4y+z-1=0$ et $x-2y-z+5=0$ et les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(-1;0;4)$ et $(3;-4;2)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les plans $\mathscr P$ et $\mathscr Q$ sont sécants.
\\
\item On nomme $\Delta$ la droite d'intersection des plans $\mathscr P$ et $\mathscr Q$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le point $A$ appartient à la droite $\Delta$.
\item Montrer que $\vec{u}(1;-2;5)$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$.
\end{enumerate}
\item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évalutation.}\\
Soit $(E)$ l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $MA^2+MB^2=AB^2$.\\
Déterminer l'ensemble des points d'intersection de $(E)$ et de la droite $\Delta$. On précisera les coordonnées de ces points.
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\Exoi{\hfill (5 points)\\
\textbf{Partie A} : 
\\
On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par :
$$ P(z)=z^3-(2+i\sqrt{2})z^2+2(1+i\sqrt{2})z-2i\sqrt{2}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que le nombre complexe $z_0=i\sqrt{2}$ est solution de $P(z)=0$.
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z)=(z-i\sqrt{2})(z^2+az+b)$.
\item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z)=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B} :\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\vec u, \vec v)$. On prendra $2$ cm comme unité graphique.\\
On considère les points $A$, $B$, $J$ et $K$ d'affixes respectives :
$$ z_A=1+i\qquad z_B=1-i\qquad z_J=i\sqrt{2}\qquad \text{et}\qquad z_K=e^{i\frac{3\pi}{4}}$$
\begin{enumerate}
\item Placer $A$, $B$, $J$ et $K$ sur une figure qui sera complété au fur et à mesure de l'exercice.
\item Soit $L$ le symétrique du point $J$ par rapport au point $K$. Montrer que l'affixe de $L$ est égale à $-\sqrt{2}$.
\item Montrer que les points $A$, $B$, $J$ et $L$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\item Soit $D$ le point d'affixe $z_D=-1+i$. On considère la rotation $r$ de centre $O$ qui transforme $J$ en $D$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une mesure, en radians, de l'angle de la rotation $r$.
\item Soit $C$ l'image du point $L$ par la rotation $r$. Déterminer l'affixe du point $C$.
\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
}



\pagebreak
\Exoi{\hfill (6 points)\\
Vrai ou Faux ? \\
\textit{Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie.}
\begin{enumerate}
\item Soit $(a_n)$ une suite non constante de réels. Pour tout entier $n$, on pose $u_n=\sin(a_n)$.
\\
\Propc{On peut choisir la suite $(a_n)$ telle que la suite $(u_n)$ converge vers $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.}
\item Dans le plan complexe d'origine $O$, on considère, pour tout entier naturel non nul $n$, les points $M_n$ d'affixe $z_n=e^{i\frac{2n\pi}{3}}$.
\Propc{Les points $O$, $M_1$ et $M_{20}$ sont alignés.}
\item On considère une fonction $f$, sa dérivée $f'$ et son unique primitive $F$ s'annulant en $x=0$. Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont donnés (dans le désordre) par les courbes ci-dessous :
\Propc{La courbe $3$ ci-dessous est la représentation graphique de $f$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\psset{xunit=1.5707963267948966cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-2.23,-2.15)(2.23,2.15)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.23,-2.15)(2.23,2.15)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=y,Dx=1.57,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.5,-4.3)(3.5,4.3)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-1.5708}{3.141592653589793}{-4*SIN(2*x)}
\rput[tl](0.46,2.94){courbe 1}
\rput[tl](-1.62,-0.11){$-\frac{\pi}{2}$}
\rput[tl](1.62,-0.11){$\frac{\pi}{2}$}
\rput[tl](3.1,-0.11){$\pi$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.5707963267948966cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-2.23,-1.5)(2.23,1.5)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.23,-1.5)(2.23,1.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=y,Dx=1.57,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.5,-3)(3.5,3)
\rput[tl](0.46,2.94){courbe 2}
\rput[tl](-1.62,-0.11){$-\frac{\pi}{2}$}
\rput[tl](1.62,-0.11){$\frac{\pi}{2}$}
\rput[tl](3.1,-0.11){$\pi$}
\psplot[linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-1.5708}{3.141592653589793}{2*COS(2*x)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwwqq}{0 0.4 0}
\psset{xunit=1.5707963267948966cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-2.23,-2)(2.23,2)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.23,-2)(2.23,2)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=y,Dx=1.57,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.5,-2)(3.5,2)
\rput[tl](0.46,1.7){courbe 3}
\rput[tl](-1.62,-0.11){$-\frac{\pi}{2}$}
\rput[tl](1.62,-0.11){$\frac{\pi}{2}$}
\rput[tl](3.1,-0.11){$\pi$}
\psplot[linecolor=qqwwqq,plotpoints=200]{-1.5707963267948966}{3.141592653589793}{SIN(2*x)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{7cm}{
\Var{
 $u$ et $n$  sont des nombres entiers
}
\Deb{
Entrer $n$ \\
$u=n$\\
%$s$ prend la valeur $u+v$\\
\While{ $u>7$ }
   {
$u$ prend la valeur $u-7$
}
Afficher $u$
}
}
\end{center}
\Propc{L'algorithme affiche $11$.}
\item On considère dans un repère orthonormal de l'espace, le point $A(0;0;3)$ et le plan $\mathscr P : 2x-y+z=0$.
\\
\Propc{La sphère de centre $A$ et de rayon $2$ et le plan $\mathscr P$ sont sécants.}
\item On considère l'équation différentielle $(E) : y'+2y=4$. Parmi les quatre courbes ci-dessous, l'une représente la solution $(E)$ vérifiant $y(0)=0$.
\Propc{La courbe représentative de la solution $(E)$ vérifiant $y(0)=0$ est la courbe $\mathscr C_4$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqww}{0 0 0.4}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.3,-2.52)(8.5,5.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-4.52)(8.5,6.3)
\psplot[linecolor=qqqqww,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{-2*2.72^(-2*x)+2}
\psplot[linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{2*2.72^(2*x)-2}
\psplot[linecolor=qqzzqq,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{2.72^x-2}
\psplot[linecolor=cyan,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{2.72^(-2*x)}
\rput[tl](0.84,5.34){$\zzqqqq{\mathscr C_1}$}
\rput[tl](-1.4,4.26){$\cyan{\mathscr C_2}$}
\rput[tl](4.1,2.48){$\qqqqww{\mathscr C_3}$}
\rput[tl](2.16,5.04){$\qqzzqq{\mathscr C_4}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
}







\pagebreak
\Exoi{\hfill (5 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=xe^x$.\\
On désigne par $\mathscr C$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'une repère orthogonal $(O; \vec{i}, \vec{j})$.\\
Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0;1]$.\\
Soit la courbe $\mathscr C$, tracée ci-dessous, on a placé les points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $a$ et $1$. On a tracé les segments $[OA]$ et $[AB]$. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments $[OA]$ et $[AB]$ et la courbe $\mathscr C$.
\\On a placé les points $A'(a;0)$ et $B'(1;0)$.
\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.25)(1.15,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.25)(1.15,3)
\multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3)}
\multido{\n=0.0+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(1.15,\n)}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{1}{2.71828 x exp x mul}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{0.5}{2.71828 x exp x mul}
\psline(0.5,0.824361)(0,0)}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.5}{1}{2.71828 x exp x mul}
\psline(1,2.71828)(0.5,0.824361)}
\uput[dr](0.5,0.8244){A}\uput[r](1,2.71828){B}\uput[dr](0,0){O}\uput[d](0.7,1.35){$\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){A$'$}\uput[dl](1,0){B$'$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.824361)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,0)(1,2.71828)
\uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,2.9){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{center}
Le but de l'exercice est de déterminer la valeur du nombre réel $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée ci-dessus est minimale.
\\
\textbf{Partie A} :
\begin{enumerate}
\item Montrer que $$ \int_0^1 xe^x dx=1$$
\item \begin{enumerate}
\item Donner l'aire du triangle $OAA'$ et montrer que l'aire du trapèze $ABB'A'$ est égale à : $$ \dfrac{1}{2}\left(-a^2e^a+ae^a-ae+e\right)$$
\item En déduire que l'aire de la partie hachurée est égale à : $$ \dfrac{1}{2}\left(ae^a-ae+e-2\right)$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B} : \\
Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=x(e^x-e)+e-2$.
\begin{enumerate}
\item Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$. Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0;+\infty[$.
\\Vérifier que la fonction $g''$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $g''(x)=(2+x)e^x$.
\item En déduire les variations de $g'$ sur $[0;+\infty[$.
\item Etablir que l'équation $g'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0;+\infty[$.\\
Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur $[0;+\infty[$.
\item En utilisant les réponses aux questions des parties $A$ et $B$, montrer qu'il existe une valeur de $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée est minimale.\\
Donner une valeur approchée de $a$ à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
}











\end{document}