

  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\Profs}{M.Rey-Cadours/D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 BACCALAUREAT GENERAL ROUGE
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2012}\\
\includegraphics[scale=1]{muguet.eps}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-NON SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE  : \textbf{$4$ heures} . COEFFICIENT : \textbf{7}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac Rouge}
\rhead{Juin 2012}


\Cr{BAC ROUGE}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
L’espace est rapporté au repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j} , \vec{k} )$. On considère les points :
$$ A(2;1;-1)\qquad B(-1;2;4)\qquad C(0;-2;3)\qquad D(1;1;-2)$$
et le plan $\mathscr P$  d’équation $x – 2y + z + 1 = 0$.
\\
\textit{Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. 
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et l’un des deux mots VRAI ou FAUX 
correspondant à la réponse choisie.\\
Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L’absence de réponse 
n’apporte ni n’enlève aucun point. 
Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à $0$.}
\begin{enumerate}
\item \textit{Affirmation 1} : Les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
\item \textit{Affirmation 2} : La droite $(AC)$ est incluse dans le plan $\mathscr P$.
\item \textit{Affirmation 3} : Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est : $x + 8y – z – 11 = 0$. 
\item \textit{Affirmation 4} : Une représentation paramétrique de la droite (AC) est :
$$\left\{ \begin{array}{l} x=2k \\ y=2+3k \\z=3-4k  \end{array} \right.\qquad k\in\R$$
\item \textit{Affirmation 5} : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.
\item \textit{Affirmation 6} : La distance du point $C$ au plan $\mathscr P$  est égale à $4\sqrt{6}$.
\item \textit{Affirmation 7} : La sphère de centre $D$ et de rayon $ \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ est tangente au plan $\mathscr P$. 
\item \textit{Affirmation 8} : Le point $E\left( -\dfrac{4}{3}  ;\dfrac{2}{3}  ;\dfrac{5}{3} \right)$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $\mathscr P$. 
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (5 points)\\
Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d’une part d’un sac contenant exactement un jeton blanc et $9$ 
jetons noirs indiscernables au toucher et d’autre part d’un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées 
de $1$ à $6$. 
\\Il décide des règles suivantes pour le déroulement d’une partie.\\
Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé :
\begin{itemize}
\item Si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne $6$ ;
\item Si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne $6$
\end{itemize}
A la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.\\
On note $B$ l’évènement : \og  le jeton tiré est blanc \fg  et $G$ l’évènement \og le joueur gagne le jeu \fg. L’évènement 
contraire d’un évènement E sera noté  $\overline{E}$ . La probabilité d’un évènement $E$ sera notée $p(E)$.
\\
\textbf{Partie A :}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p(G) = \dfrac{7}{30}$. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. 
\item Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu’il a perdu ?
\item Un joueur fait quatre parties de façon indépendante.\\
Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\item Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure à $0,99$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :}\\
L’organisateur décide de faire de sa loterie un jeu d’argent :
\begin{itemize}
\item Chaque joueur paie $1\euro $ par partie ;
\item Si le joueur gagne la partie, il reçoit $5\euro$ ;
\item Si le joueur perd la partie, il ne reçoit rien.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur à l’issue d’une partie.
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de probabilité de $X$ et son espérance $E(X)$.
\item On dit que le jeu est favorable à l’organisateur si $E(X) < 0$. Le jeu est-il favorable à 
l’organisateur ? 
\end{enumerate}
\item L’organisateur décide de modifier le nombre $n$ de jetons noirs (n étant un entier naturel non nul) tout en 
gardant un seul jeton blanc. Pour quelles valeurs de l’entier $n$ le jeu est-il défavorable à l’organisateur ? 
\end{enumerate}
}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (5 points)\\
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O ; \vec{u}, \vec{v} )$ d’unités graphiques $2$ cm. 
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives :
$$ z_A=-2i\qquad z_B=-\sqrt{3}+i\qquad z_C=\sqrt{3}+i$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Ecrire $z_A$, $z_B$ et $z_C$ sous forme exponentielle.
\item En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$  passant par les points $A$, $B$ et $C$.
\item Faire une figure et placer le point $A$, tracer le cercle $\Gamma$ puis placer les points $B$ et $C$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Ecrire le quotient  $\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A} $ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. 
\item En déduire la nature du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item On note $r$ la rotation de centre A et d'angle mesurant $\dfrac{\pi}{3}$~radians. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $O'$, image de $O$ par $r$, a pour affixe  $- \sqrt{3} - \text{i}$. 
		\item Démontrer que les points C et $O'$ sont diamétralement opposés sur le cercle $\Gamma$. 
		\item Tracer l'image $\Gamma'$ du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$. 
		\item Justifier que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$ se coupent en $A$ et $B$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que 
		\[|z| = \left|z + \sqrt{3} + \text{i}\right|.\] 
		\item Montrer que les points $A$ et $B$ appartiennent à $(E)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak


\Exoi{\hfill (6 points)\\
\emph{L'annexe qui suit sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}\\
\textbf{Partie A}  
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ [par 
\[g(x) = \ln (2x) + 1 - x\]
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la rédaction.}
 \\
Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[1~;~+ \infty[$ une unique solution notée $\alpha$. 
		\item  Démontrer que $\ln (2\alpha) + 1 = \alpha$.
		\item On considère l'algorithme suivant :
		\begin{center}
		\Algo{12cm}{
\Entree{ 
 $a$, $b$, $c$, $e$  sont des nombres réels}\\
%\Function{Extremum}
  %  {{...}{}}
    %{}
{
  Saisir  des valeurs pour $a$, $b$ et $e$ \\
  \IfThenElse{ $g(a)\times g(b)\geq 0$ }
    {    Afficher "pas de solution "}
    {    \While{ $|b-a|\geq e$ }
    { $c:=\dfrac{a+b}{2}$\\
      \IfThenElse{ $g(a)\times g(c)\leq 0$ }
    {    $b:=c$}
    {    $a:=c$ }
    }
      Afficher $a$ et $b$
  }
}}
		\end{center}
		\begin{enumerate}
\item Qu'affiche cet algorithme dans chacun des cas suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item[\textbf{Cas 1}] : $a=3$, $b=6$ et $e=0,01$
\item[\textbf{Cas 2}] : $a=1$, $b=4$ et $e=1$.
\end{itemize}
\end{multicols}
\item Que réalise cet algorithme ?
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = \ln \left(2u_{n}\right) + 1$. 
 \\
On désigne par $(\Gamma)$ la courbe d'équation $y = \ln (2x) + 1$ dans un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j})$. Cette courbe  est donnée dans l'annexe. 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la courbe $(\Gamma)$ ,construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite. 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 1 \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant  3$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\textbf{Partie B} 
 \\
On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) = (x - 1) \text{e}^{1 - x}\]
On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j})$. Cette  courbe est donnée dans l'annexe.
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à $1$, on pose :
\[F(x) = \int_{1}^x f(t)\:\text{d}t = \int_{1}^x (t - 1)\text{e}^{1 -t}\:\text{d}t\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ est croissante sur $[1~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout réel $x$ appartenant à $[1~;~+ \infty[$,  $$F(x) = - x\text{e}^{1 - x} + 1$$ 
		\item Démontrer que sur $[1~;~+ \infty[$, l'équation $F(x) = \dfrac{1}{2}$ est équivalente à l'équation $\ln (2x) + 1 = x$. 
	\end{enumerate}
\item Soit un réel $a$ supérieur ou égal à $1$. On considère la partie $\mathcal{D}_{a}$ du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = a$.
 \\
Déterminer $a$ tel que l'aire, en unités d'aires, de $\mathcal{D}_{a}$, soit égale à $\dfrac{1}{2}$ et hachurer $\mathcal{D}_{a}$ sur le graphique. 
\end{enumerate}
}





\begin{center}

\textbf{ANNEXE} - \textbf{\underline{Exercice 4}} 
 
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}




\vspace{1cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-3.5)(7.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3.5)(7.5,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0.0125}{7.5}{x 2 mul ln 1 add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-0.1}{7.5}{2.71828 1 x sub exp x 1 sub mul}
\uput[u](7,0.1){$(\mathcal{C})$} \uput[d](7,3.5){$(\Gamma)$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridcolor=orange](-1,-3.5)(7.5,4)
\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture} 
\end{center}



\end{document}