

  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 BACCALAUREAT GENERAL BLEU
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2012}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-NON SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac BlEU}
\rhead{Avril 2012}


\Cr{BAC BLEU}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec i, \vec j, \vec k)$.
 \\
On considère les trois points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées respectives : 
$A(-1~;~2~;~1)$ , $B(1~;~- 6~;~-1)$ et $C (2~;~2~;~2)$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan. 
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\
\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les plans $(ABC)$ et $P$ sont sécants. 
		\item Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et $(ABC)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique:
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + t\\ 
y &=& -3 + 2t\\
z &=&t,
\end{array}\right.\quad  t \in \R.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point I appartient à la droite $D$. 
		\item Montrer que le point I appartient à la sphère $S$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 \\
Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\Exoi{\hfill (5 points)\\
Dans le plan complexe on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = -2,\, b = 5\text{i}$ et $c = 4$ ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U.
%La figure est donnée en \textbf{annexe 2}.
\begin{enumerate}
\item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
\\En déduire que le point J a pour affixe $- 7 + 2\text{i}$. On admettra que l'affixe du point K est - 2 - 6\text{i}. 
\item Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les segments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les affixes des points S et T. 
		\item Déterminer l'affixe du point U. 
		\item Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle STU.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{JC}},\, \vect{\text{AU}}\right)$. 
\item On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d'affixe 
\\
$v = -0,752 + 0,864\text{i}$. 	
	\begin{enumerate}
		\item Établir que les points A, V et U sont alignés. 
		\item Que représente la droite (AU) pour l'angle $\widehat{\text{BVC}}$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-7,-7)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-7,-7)(9,9)
\pspolygon(-2,0)(0,5)(-5,6.9)(-7,1.9)%ABIJ
\pspolygon(4,0)(8.9,4)(4.9,8.9)(0,5)%CMNB
\pspolygon(-2,0)(-2,-6)(4,-6)(4,0)%AKLC
\uput[dl](-2,0){A} \uput[ul](0,5){B} \uput[dr](4,0){C} 
\uput[u](-5,6.9){I} \uput[dl](-7,1.9){J} \uput[dl](-2,-6){K} 
\uput[dr](4,-6){L} \uput[ur](8.9,4){M} \uput[u](4.9,8.9){N}
\uput[ur](-3.5,3.45){S}\uput[ur](1,-3){T}\uput[ur](4.45,4.5){U}
\psdots(-3.5,3.45)(4.45,4.5)(1,-3) 
\end{pspicture}
\end{center} 
%\end{center}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (5 points)\\
On considère la fonction $f$ définie $]0~;~+ \infty[$ par : 
\[f(x) = x \ln x - 1.\] 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$.
 \\
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ cette solution. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à la précision $10^{-2}$. 
\item Déterminer le signe de $f(x)$ lorsque $x$ appartient à $]0~;~+ \infty[$. 
\item Montrer que $\ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$. 
\end{enumerate}
\\
\textbf{Partie B : Calcul d'une intégrale}
\\
On donne la courbe $\mathcal{C}$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On considère l'intégrale suivante : 
\[I = \int_{\alpha}^4 f(x)\:\text{d}x.\] 
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'intégrale $I$ est l'aire d'une partie du plan que l'on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale 
\[J = \int_{\alpha}^4 x \ln x\:\text{d}x.\]  
\item Montrer l'égalité : $I = \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} + 16\ln 2 - 8$.\\
En déduire une valeur approchée de $I$ à $10^{-1}$ près. 
\end{enumerate}
}

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(6.5,5.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(6.5,5.75)
\uput[d](6.5,0){$x$}\uput[l](0,5.75){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[r](4,4.5){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4.4}{x ln x mul 1 sub}
\end{pspicture}
\end{center}





\pagebreak
\Exoi{\hfill (5 points)\\
%\begin{enumerate}
Soit $u$ la suite (dite suite de Fibonnacci) d\'efinie par : $\left\{\begin{array}{l c l}
u_0& =&0\\
u_1&=&1\\
u_{n+2}& =& u_{n+1}+u_n\quad  \text{pour tout entier naturel}~n\\
\end{array} \right.$
\begin{enumerate} \item Calculer $u_1,~u_2$ et $u_3$. 
\item On considère l'algorithme suivant :
%\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\Algo{7cm}{
\Var{
$k$, $u$, $v$ et $w$  sont des nombres entiers\\
$n$ est un entier supérieur ou égal à $2$.
}
\Deb{
Entrer $n$ \\
$u=0$\\
$v=1$\\
%$s$ prend la valeur $u+v$\\
\For{$k=1$ \textbf{à} $n-1$}{
$w$ prend la valeur $u+v$\\
$u$ prend la valeur $ v$\\
$v$ prend la valeur $ w$
%$s$ prend la valeur $s+w$
}
Afficher $w$
}
}
\end{center}
%\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre $n=4$ ? et $n=5$ ?
\item Que calcule cet algorithme ?
\end{enumerate}
\item 
On note $S_n$ la somme :
$$S_n=u_0+u_1+u_2+u_3+\dots+u_n$$\begin{enumerate} 
\item Calculer $S_0$, $S_1$, $S_2$, $S_3$ et $S_4$.
\item Montrer que pour tout $n\in\N$ :
$$ S_n=u_{n+2}-1$$
\item Ecrire un algorithme, qui lorsque l'utilisateur saisit la valeur d'un entier $n$ supérieur ou égal à $2$, affiche la somme $S_n$.
\end{enumerate}
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
}











\end{document}