  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\Profs}{J.M.Bilheran/M.Rey-Cadours/D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 BACCALAUREAT GENERAL BLANC
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2012}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-NON SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 3 pages numérotées de 1 à 3.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac Blanc}
\rhead{Avril 2012}


\Cr{BAC BLANC}


\Exoi{\hfill (3 points)\\
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j,\vec k)$, ,on considère les points :
$$A(3~;~1~;~-5)\qquad B(0~;~4~;~-5)\qquad C(-1~;~2~;~-5)\qquad \text{et}\qquad D(2~;~3~;~4) $$
\emph{Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la mention} \og VRAI \fg{}  \emph{ou} \og FAUX \fg.  \emph{On attribue} $0,5$  \emph{point par réponse correcte et on retranche} $0,25$  \emph{point par réponse incorrecte.\\
L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à} 0.
\begin{enumerate}
\item Les points A, B et D sont alignés.
\item La droite (AB) est contenue dans le plan d'équation cartésienne : $x + y = 4$.
\item Une équation cartésienne du plan (BCD) est : $18x - 9y - 5z + 11 = 0$.
\item Les points A, B, C et D sont coplanaires.
\item La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD).
\item Une représentation paramétrique de la droite (BD) est : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1-2k\\
y&=&\dfrac{7}{2}+k,~~k \in \R\\
z&=& - \dfrac{1}{2} - 9k\\
\end{array}\right.$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec u, \vec v)$. L'unité graphique est 2 cm.
\\
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $+ \dfrac{\pi}{2}$.
\\
On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $\dfrac{z - 4}{z} = \text{i}$. Écrire la solution sous forme algébrique.
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$. Écrire les solutions sous forme exponentielle.
\item Soient A, B, A$'$ et D les points du plan complexe d'affixes respectives :
\[ a = 2, \qquad  b = 4, \qquad a' = 2\text{i}\quad  \text{et} \quad d = 2 + 2\text{i}.\]
Quelle est la nature du triangle ODB ?
\item Soient E et F les points d'affixes respectives $e = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $f =  1 + \text{i}\sqrt{3}$.
\\
Quelle est la nature du quadrilatère OEAF?
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon 2. Soit $\mathcal{C}'$ le cercle de centre A$'$ et de rayon 2.
\\
Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par E$'$ l'image par la rotation $r$ du point E. Calculer l'affixe $e'$ du point E$'$.
		\item Démontrer que le point E$'$ est un point du cercle $\mathcal{C}'$.
		\item Vérifier que : $e - d = \left(\sqrt{3} + 2\right) \left(e' - d\right)$. En déduire que les points E, E$'$ et D sont alignés.
	\end{enumerate}
\item Soit D$'$ l'image du point D par la rotation $r$. Démontrer que le triangle EE$'$D$'$ est rectangle.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (7 points)
\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances.}\\
L'objet de cette question est de d\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 
+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\
On suppose connu le résultat suivant :
$$ \forall x\in\R^{+*}\qquad e^x\geq x$$
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ d\'efinie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$. (On étudiera la fonction $g$ pour cela).
\item En d\'eduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$
\end{enumerate}
\item On appelle $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) =\dfrac{1}{4}x\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$.\\
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
\\
La courbe $\mathcal{C}$ est représentée ci-dessous.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est positive sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. En déduire une conséquence graphique pour $\mathcal{C}$.
		\item Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x)= \int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une fonction strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Montrer que $F(x)=1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}-\dfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$.
		\item Calculer la limite de $F$ en $+\infty$ et dresser le tableau de variations de $F$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Justifier l'existence d'un unique réel positif $\alpha$ tel que $F(\alpha) = 0,5$.
		\\
À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à 10$^{-2}$ près par excès.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $A_{n}$ l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre l'axe des abscisses, la courbe de $f$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x =n$.
\\
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $A_{n}\geqslant  0,5$.
\end{enumerate}}

\begin{center}

\psset{xunit=1.2,yunit=3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,2)
\multido{\r=-1+0.25}{40}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\r,-1)(\r,2)}
\multido{\r=-1+0.1}{30}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](-1,\r)(9,\r)}
\multido{\i=1+1}{8}{\uput[d](\i,0){\i}}
\uput[dl](0,0){0}
\uput[l](0,1){1}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-1,0)(9,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-1)(0,2)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{2.71828 x 2 div neg exp x mul 4 div}
\uput[u](6,0.1){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}

\end{center}



\pagebreak
\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{enumerate}
 \item Soit $u$ la suite d\'efinie par : $\left\{\begin{array}{l c l}
u_0& =&0\\
u_{n+1}& =& \cfrac{1}{2 - u_n}\quad  \text{pour tout entier naturel}~n\\
\end{array} \right.$
\begin{enumerate} \item Calculer $u_1,~u_2$ et $u_3$. On exprimera chacun de ces termes sous forme d'une
 fraction irr\'eductible.
\item Comparer les quatre premiers termes de la suite $u$ aux quatre premiers 
termes de la suite $w$ d\'efinie sur $\N$ par $w_n= \cfrac{n}{n+1}$.
\item \`A l'aide d'un raisonnement par r\'ecurrence, d\'emontrer que, pour tout 
entier naturel $n,~u_n = w_n$.
\end{enumerate}
\item  Soit $v$ la suite de terme g\'en\'eral $v_n$ d\'efini par $v_n = \ln 
\left(\cfrac{n}{n+1}\right)$ où $\ln$ d\'esigne la fonction logarithme
n\'ep\'erien.\\
%\begin{multicols}{2}
%\item 
On considère l'algorithme donné suivant :
\begin{center}
\Algo{7cm}{
\Var{
$n$, $k$ et $s$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $n$ \\
$s=0$\\
\For{$k=1$ \textbf{à} $n$}{
$s$ prend la valeur $s+\ln\left(\dfrac{k}{k+1}\right)$\\
$k$ prend la valeur $k+1$
}
Afficher $s$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche l'algorithme si l'utilisateur entre $n=3$ ? Même question si l'utilisateur entre $n=5$ ?
\item Que calcule cet algorithme ?
\end{enumerate}
\item 
Soit $S_n$ la somme d\'efinie pour tout entier naturel non nul $n$ par : 
\[S_n =v_1 +v_2 + \cdots  +v_n.\]
\begin{enumerate} \item Montrer que $v_1 +v_2 + v_3 =- \ln 4$.
\item Exprimer $S_n $en fonction de $n$.
\\ D\'eterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{enumerate}}



\newpage








\end{document}