

  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\Profs}{M.Rey-Cadours/D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{stylecom}{%
\fancyhf{} 
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{   Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ D.Zancanaro \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
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%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\pagestyle{stylecom}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\quad
%\vspace{-17mm}
\vspace{-11mm}

\def\arete{3} 
\def\epaisseur{5} 
\def\rayon{3}
\newcommand{\ruban}{(0,0) 
	++(0:0.57735*\arete-0.57735*\epaisseur+2*\rayon) 
	++(-30:\epaisseur-1.73205*\rayon) 
	arc (60:0:\rayon)	-- ++(90:\epaisseur) 
	arc (0:60:\rayon)	-- ++(150:\arete) 
	arc (60:120:\rayon) -- ++(210:\epaisseur) 
	arc (120:60:\rayon) -- cycle}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[very thick,top color=white,bottom color=gray,scale=0.67] 
	\shadedraw \ruban; 
	\shadedraw [rotate=120] \ruban; 
	\shadedraw [rotate=-120] \ruban;
	\draw (-60:3.5) node[scale=3,rotate=30]{Amérique}; 
	\draw (-60:5) node[scale=3,rotate=30]{du nord}; 
	\draw (180:4) node[scale=2,rotate=-90]{Terminale}; 
	\draw (180:5) node[scale=2,rotate=-90]{Scientifique }; 
	%\clip (0,-6) rectangle (6,6); % pour croiser \shadedraw \ruban;
	\draw (60:5) node [gray,scale=2,rotate=-30]{Maths}; 
	\draw (60:4) node [gray,xscale=-2,yscale=2,rotate=30]{Maths}; 
	\draw (0.2,1.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS3}};
	\draw (0.2,0.4) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Juin 2012}};
	%\draw (0.2,-0.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{\&{}}};
	%\draw (0.2,-1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Spécialité}};
%	\draw (-90:1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS1}};
	\draw (10:12.5) node[scale=0.67,rotate=90]{\textit{Lycée Jean Durand, Castelnaudary (Aude, France métropolitaine)}};
	\draw (0:-12.5) node[scale=0.5,rotate=90]{\quad };
\end{tikzpicture}
\end{center}


\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des
hommes adhère à la section tennis. On sait également que $30$ \% des
membres de cette association adhèrent à la section tennis.\\
\partieBac{}
On choisit au hasard un membre de cette association et on note :
%\begin{itemize}
 $F$ l'événement \og le membre choisit est une femme\fg, et
 $T$ : \og le membre choisit adhère à la section tennis\fg.
%\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'événemen $F$ est égale à $\frac{2}{5}$.
\item On choisit un membre adhérent à la section tennis.
  Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
\end{enumerate}
\partieBac{}
Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent
une lotterie.
\begin{enumerate}
\item Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard
  de manière indépendante pour tenir la loterie.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines
    consécutives, il y a ait exactement deux fois un membre qui adhère
    à la section tennis parmi les membres choisis.
  \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la
    probabilité pour qu'en $n$ semaines consécutives, il y ait au
    moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres
    choisis.
    Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 - \left ( \frac{7}{10}\right)^n$.
  \item Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n \geq 0,99$.
  \end{enumerate}
\item  Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons
  ; $10$ jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ euros
  chacun, les autres ne rapportent rien.\\
  Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer $5$~\euro{} puis
  tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l'urne : il
  reçoit alors $20$ euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont
  ensuite remis dans l'urne.\\
  On note $X$ la variable aléatoire associant le gain algébrique
  (déduction faite des $5$ \euro) du joueur.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
  \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$
    et interpréter le résultat obtenu.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak



\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
\partieBac{Restitution organisée des connaissances}
On rappelle que $\lim_{t \to +\infty} \frac{\e^t}{t} = + \infty$. Démontrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
\\
\partieBac{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\intervalleA$ par $f(x) = x -
\frac{\ln(x)}{x}$. 
\\
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j})$.
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleA$ par $g(x) =  x^2
  -1 + \ln(x)$.
\\
  Montrer que la fonction $g$ est positive sur $\intervalleA$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleA$, $f'(x) =
    \frac{g(x)}{x^2}$.
  \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\intervalleA$.
  \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est une
    asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
  \item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à
    la droite $\mathcal{D}$.
  \end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note
  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de
  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à
    $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est
    donnée par $M_kN_k = \frac{\ln(k)}{k}$.
  \item Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$
    supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit
    inférieur ou égale à $10^{-2}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\intervalleB$ telle
que :
\[
f(0) = 0 \text{ et } f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \text{ pour tout $x$ de $\intervalleB$}.
\]
\emph{On ne cherchera pas à déterminer $f$.}
\\
\partieBac{}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\intervalleB$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleC$ par $g(x) =
  f\left(\tan(x)\right)$.
  \begin{enumerate}
  \item Justifier que $g$ est dérivable sur $\intervalleC$, puis que,
    pour tout $x$ de $\intervalleC$, $g'(x) =1$.
  \item Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleC$, $g(x) = x$, en
    déduire que $f(1) = \frac{\pi}{4}$.
  \end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleB$, $0 \leq f(x) \leq \frac{\pi}{4}$. 
\end{enumerate}
\partieBac{}
Soit $\left (\I_n\right)$ la suite définie par $\I_0 = \int_{0}^{1}
f(x) \dd x$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\I_n =
\int_{0}^{1} x^nf(x) \dd x $.
\begin{enumerate}
\item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, $\I_0 =
  \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln(2)$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $\I_n \geq 0$.
  \item Montrer que, pour tout  entier naturel non nul $n$, $\I_n \leq
    \frac{\pi}{4(n+1)}$.
  \item En déduire la limite de la suite $(\I_n)$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec{u}, \vec{v})$.
 \\
On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point
$M$ d'affixe $z$, associe le point $\text{M'}$ d'affixe $z'$
telle que : $z' = z^2$.
\\
On note $\Omega$ le point d'affixe $1$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan
  tels que $f(M) = M$.
\item Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}-\Ci\sqrt{2}$.
  \begin{enumerate}
  \item Exprimer $a$ sous forme exponentielle.
  \item En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$.
  \end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$
  tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur.
\item Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble
  $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le
  triangle $\Omega MM'$ est rectangle issocèle direct en $\Omega$.
  \begin{enumerate}
  \item À l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle
    $\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et
    seulement si $z^2 - \Ci z -1 + \Ci = 0$ et $z \not= 1$.
  \item Montrer que $z^2 - \Ci z -1 + \Ci = (z-1)(z+1-\Ci)$.
  \item En déduire l'ensemble $\Gamma_3$.
  \end{enumerate}
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et e $1$.
  \begin{enumerate}
  \item Exprimer $\left ( \vect{OM\vphantom{'}},\vect{OM'}\right)$ en fonction
    d'un argument de $z$.
  \item En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de
    $O$ et de $\Omega$ tels que $O$, $M$ et $M'$ soient alignés.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}