\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}9$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire
\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
L'objet de cette question est de d\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 
+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\
On suppose connu le résultat suivant :
$$ \forall x\in\R^{+*}\qquad e^x\geq x$$
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$. (On étudiera la fonction $g$ pour cela).
\item En d\'eduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=e^{-x^2}$$
\begin{enumerate}
%\item Etudier la parité de $g$.
\item Calculer $g'(x)$, puis étudier le signe de $g'$.
\item En déduire le tableau de variation de $g$.
\item Calculer les limites de $g$ en $+\infty$ puis en $-\infty$.
\item Déterminer les éventuels extremum de $g$.
\item Calculer $g''(x)$, puis résoudre $g''(x)=0$
\end{enumerate}
}

\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}9$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis



\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Montrer que $e^x>x$, pour cela étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^x-x$.
\item En utilisant l'égalité précédent pour $X=\dfrac{x}{2}$ démontrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ on a
$$ \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{4}$$ 
\item En déduire la limite de $ \dfrac{e^x}{x}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
 \end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$ f(x)=e^x-x-4$$
et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $f$.
\item En remarquant que, pour tout réel non nul $x$ :
$$ f(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1-\dfrac{4}{x}\right)$$
déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Démontrer que la droite $\mathscr D$ d'équation $x+y+4=0$ est asymptote à la courbe $\mathscr C_f$ en $-\infty$ et préciser la position de $\mathscr C_f$ par rapport à $\mathscr D$
\end{enumerate}}


\end{document}
