\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$. Soit $a\in I$. Le point $A(a;f(a))$ est donc un point de $\mathscr C_f$\\
Le but de cette exercice est de \textbf{démontrer} que l'équation de la tangente $\Delta$ en $A$ à $\mathscr C_f$ est :
$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi l'équation de $\Delta$ est de la forme :
$$ y=f'(a)x+p\qquad \qquad \text{où} \qquad p\in\R$$
\item En utilisant le point $A$, démontrer que $\Delta : y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=x^3-30x^2+112$$
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est-elle continue sur $\R$ ?
\item Etudier la limite de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet trois solutions.
\item Avec la calculatrice, donner l'arrondi au dixième ou la valeur exacte de chaque solution.
\item En déduire le signe de $f$.
\end{enumerate}}


\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis





\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$. Soit $a\in I$. Le point $A(a;f(a))$ est donc un point de $\mathscr C_f$\\
Le but de cette exercice est de \textbf{démontrer} que l'équation de la tangente $\Delta$ en $A$ à $\mathscr C_f$ est :
$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi l'équation de $\Delta$ est de la forme :
$$ y=f'(a)x+p\qquad \qquad \text{où} \qquad p\in\R$$
\item En utilisant le point $A$, démontrer que $\Delta : y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$ g(x)=x^3+3x+8$$
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
\item Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera une valeur approchée (à l'aide de la calculatrice) à $10^{-1}$ près.
\item En déduire le tableau de signe de $g$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que :
$$ \forall x\in\R, \qquad f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(x^2+1)^2}$$
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\end{document}
