\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire




\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
Soit $A$ le point de coordonnées $(x_a;y_a;z_a)$ et $\mathscr P$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls.
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathscr P$.
\item On note $H(x_H;y_H;z_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr P$, démontrer que :
$$ \left| \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}\right|=AH\times \sqrt{a^2+b^2+c^2}$$ 
\item Démontrer que :
$$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=-ax_A-by_A-cz_A-d$$
\item En déduire finalement que :
$$ d(A;\mathscr P)=\dfrac{\mid ax_A+by_A+cz_A+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item On donne $A(1;-2;-1)$, $B(3;-5;-2)$ et $C(0;1;2)$. \\
Démontrer que le plan $\mathscr P$ orthogonal à $\overrightarrow{BC}$ passant par $A$ a pour équation :
$$ -3x+6y+4z+19=0=0$$
\item %Soit $\mathscr P$ le plan d'équation $2x-y+z=1$. Etudier $\mathscr P \cap \mathscr D$.
Donner une représentation paramétrique de la droite $(BC)$.
\item Etudier $(BC) \cap \mathscr P$.
%\item Calculer la distance entre $C$ et $\mathscr P$.
\end{enumerate}}




\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
Soit $A$ le point de coordonnées $(x_a;y_a;z_a)$ et $\mathscr P$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls.
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathscr P$.
\item On note $H(x_H;y_H;z_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr P$, démontrer que :
$$ \left| \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}\right|=AH\times \sqrt{a^2+b^2+c^2}$$ 
\item Démontrer que :
$$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=-ax_A-by_A-cz_A-d$$
\item En déduire finalement que :
$$ d(A;\mathscr P)=\dfrac{\mid ax_A+by_A+cz_A+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item On note $\mathscr D$ la droite passant par les points $A(1;-2;-1)$ et $B(3;-5;-2)$. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\mathscr D$ est  :
 $$ \left\{ \begin{array}{l} x=1+2t\\ y=-2-3t \\ z=-1-t  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$$
\item Soit $\mathscr P$ le plan d'équation $2x-y+z=1$. Etudier $\mathscr P \cap \mathscr D$.
\item Calculer $d(A;\mathscr P)$.
\end{enumerate}}



\end{document}
