\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire



\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Démontrer que dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec{k})$, 
tout plan $P$ admet une équation (dite cartésienne) de la forme : 
$$ ax+by+cz+d=0$$
avec $a$, $b$, $c$ réels non tous nuls et $d$ réel. \\
De plus le vecteur $\vec{n}(a;b;c) $ est normal à $P$
\item Dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec{k})$, on donne $A(1;-1;1)$ et $B(4;-2;0)$. \\
Déterminer l'équation cartésienne du plan $\mathscr P$ passant par $A(1;-1;1)$ et normal au vecteur $\overrightarrow{AB}$.
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points) \\
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $a$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer de deux façons différentes le produit scalaire $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BG}$
\item Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{FH}$.
\end{enumerate}}





%\pagebreak
\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}




\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Démontrer que dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec{k})$, 
tout plan $P$ admet une équation (dite cartésienne) de la forme : 
$$ ax+by+cz+d=0$$
avec $a$, $b$, $c$ réels non tous nuls et $d$ réel. \\
De plus le vecteur $\vec{n}(a;b;c) $ est normal à $P$
\item  Dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec{k})$, on donne $A(1;-1;1)$ et $\vec{n}(2;-3;3)$. \\
Déterminer l'équation cartésienne du plan $\mathscr P$ passant par $A(1;-1;1)$ et normal au vecteur $\vec{n}(2;-3;3)$.
\end{enumerate}
}




\Exoi{\hfill (4 points)\\
On considère un tétraèdre $ABCD$ régulier d'arête $a$. (\textit{chaque face est un triangle équilatéral de côté $a$)}.\\
Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales.
}


\Exoi{\hfill (2 points)\\
On considère les points $A(3; 4; -2)$, $B(1; 6; 0)$ et $C(-2; 2; 1)$. 
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle. 
}


\end{document}
