\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire





\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On considère deux suites adjacentes $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que :
$$ v_n\leq u_n$$
\begin{enumerate}
\item Rappeler la définition des suites adjacentes.
\item Démontrer que $(u_n)$, ainsi que $(v_n)$ sont convergentes.
\item En déduire que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points) \\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]2;+\infty[$ par $ f(x)=4-\dfrac{1}{x-2}$
\begin{enumerate}
\item \textbf{Etude de $f$}
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]2;+\infty[$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=x$ dans l'intervalle $]2;+\infty[$. \\
On note $\alpha$ la solution.
\end{enumerate}
\item \textbf{Etude de la suite $(u_n)$}\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et par : $ u_{n+1}=f(u_n)=4-\dfrac{1}{u_n-2}$
\begin{enumerate}
\item Démontrer, par récurrence que $ \alpha\leq u_{n+1}\leq u_n$
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}




%\pagebreak
\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}







\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On considère deux suites adjacentes $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que :
$$ v_n\leq u_n$$
\begin{enumerate}
\item Rappeler la définition des suites adjacentes.
\item Démontrer que $(u_n)$, ainsi que $(v_n)$ sont convergentes.
\item En déduire que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points) \\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $ f(x)=15-\dfrac{100}{x+5}$
\begin{enumerate}
\item \textbf{Etude de $f$}
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=x$ dans l'intervalle $[0;+\infty[$. \\
On note $\alpha$ la solution.
\end{enumerate}
\item \textbf{Etude de la suite $(u_n)$}\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et par : $ u_{n+1}=f(u_n)=15-\dfrac{100}{u_n+5}$
\begin{enumerate}
\item Démontrer, par récurrence que $ \alpha\leq u_{n+1}\leq u_n$
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\end{document}
