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\newtheorem{Exi}{\underline{\textbf{Exercice}}}
\newcommand{\Exoi}[1]{\begin{Exi} \emph{#1} \end{Exi}  \vspace{3mm}}
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\renewcommand*{\P}{\mathbb{P}}
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\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro



\Exoi{\textbf{Pertinence d'un test de dépistage}\hfill (10 points)\\
Dans une population donnée suffisamment grande, la proportion d'individus atteints d'une certaine maladie est $x$. Un laboratoire pharmaceutique informe sur les caractéristiques de son test spécifique à cette maladie :
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est $0,99$.
\item la probabilité qu'un individu sain ait un test positif est $0,01$.
\end{itemize}
On choisit un individu au hasard dans cette population et on le soumet au test. On note :
\begin{itemize}
\item $M$ l'événement : \og L'individu est malade \fg ;
\item $T$ l'événement : \og Le test est positif \fg ;
\item $f(x)$ la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit malade.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Sur quel intervalle $I$ est définie la fonction $f$ ?\\
Montrer que $$ f(x)=\dfrac{99x}{98x+1}$$
puis étudier son sens de variation sur $I$. 
\item On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit malade est supérieure ou égale à $0,95$.
\begin{enumerate}
\item Le test est-il fiable lorsque la proportion d'individus atteints par la maladie est de $5\%$ ?
\item Déterminer la proportion d'individus atteints par la maladie à partir de laquelle le test est fiable.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer $g(x)$, où $g$ est la fonction qui à $x$ associe la probabilité qu'un individu dont le test est négatif ne soit pas malade.
\item Pour pouvoir effecteur une campagne de dépistage sans inquiéter la population, on veut que cette probabilité soit supérieure ou égale à $0,99$.\\
Déterminer la proportion d'individus atteints par la maladie pour laquelle on n'inquiétera pas la population.
\end{enumerate}
\item Conclure sur la qualité du test i.e déterminer la proportion d'individus malade pour laquelle on peut considérer que ce test est de bonne qualité.
\end{enumerate}
}
\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\Exoi{\textbf{La vénus de Milo}\hfill (4 points)
\begin{enumerate}
\item
 Des études morphologiques de la Vénus de Milo montrent qu'il y a cinq chances sur sept pour qu'elle soit droitière et deux
chances sur sept pour qu'elle soit gauchère. Si elle est droitière, il y a trois chances sur cinq pour qu'elle épluche des carottes et
deux chances sur cinq pour qu'elle dénoyaute des olives.  Si elle est gauchère, il y a une chance sur deux pour qu'elle épluche des
carottes et une chance sur deux pour qu'elle dénoyaute des olives.
\\
 Calculez la probabilité pour qu'elle dénoyaute des
olives.
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 3/7}\end{flushright}
\item Les noyaux trouvés sur le site archéologique de la statue
permettent d'affirmer sans hésiter qu'elle dénoyaute des olives.
\\
Calculez la probabilité pour qu'elle soit gauchère.
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 1/3}\end{flushright}
\end{enumerate}}

\Exoi{\textbf{Trop distrait Marcel !}\hfill (6 points)\\
Marcel est distrait. Quand il part travailler, il oublie parfois de s'habiller et prend le tramway entièrement dévétu. Quand il a
voyagé la veille nu, il voyage nu une fois sur cinq le jour même; sinon, une fois sur deux.
\\
On note $N_n$ l'événement \og~il voyage le $n^{\text{ième}}$ jour
nu~\fg et $p_n$ sa probabilité.
\begin{enumerate}
\item Exprimez $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $p_{n+1}=1/2-3p_n/10$}\end{flushright}
\item On pose $u_n=p_n-\dfrac{5}{13}$ \begin{enumerate}
 \item Exprimez $u_{n+1}$ en
fonction de $u_n$, puis de $u_1$ et $n$.
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $u_n=u_1(-3/10)^{n-1}$}\end{flushright}
\item Exprimez alors $p_n$ en fonction de $n$. 
\item Montrez que
la suite $(p_n)$ est convergente et calculez sa limite.
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 5/13}\end{flushright}
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
}


\end{document}
