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\newtheorem{Exi}{\underline{\textbf{Exercice}}}
\newcommand{\Exoi}[1]{\begin{Exi} \emph{#1} \end{Exi}  \vspace{3mm}}
\everymath{\displaystyle}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-eucl,pst-grad,pst-coil}
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\definecolor{vert}{rgb}{0.47,0.72,0.13}
\newcommand*{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand*{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand*{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}13$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire
\Exoi{\hfill (10 points)\\
Dans un repère orthonormal $(O;\vec{e_1}, \vec{e_2})$ du plan complexe, les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour affixe respectivement :
$$ z_A=4+i\qquad z_B=1+2i\qquad z_C=\dfrac{5-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3-3\3\sqrt{3}}{2}i\qquad z_D=\dfrac{5+3i}{2}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $ \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}$ est un imaginaire pur. \\
En déduire la valeur de l'angle $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)$. %En déduire que $(CD)\perp(AB)$
\item Démontrer que $D$ est le milieu du segment $[AB]$.
\item Montrer que $(CD)$ est la hauteur issue de $C$ relative au côté $AB$ dans le triangle $ABC$.
\item Démontrer que :
$$ \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
\item Déterminer une écriture exponentielle de $\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, puis en déduire la nature du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
}


\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}13$}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\Exoi{\hfill (10 points)\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u}, \vec{v})$ (unité : 1~cm).
 \\
On fera une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions.
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$. 
\item Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives : 
\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}\quad ; \quad z_{\text{C}} = 2z_{\text{B}} \quad;\quad z_{\text{D}} = 3.\]
Construire une figure et la compléter tout au long de l'exercice. 
\item Montrer que les trois points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle de centre $D$ dont on précisera le rayon. 
\item Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$. En déduire la nature du triangle $DAC$. 
\item Donner une écriture exponentielle de $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$.
\item Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont-elles perpendiculaires ? (Justifier).
\end{enumerate} }






\end{document}
