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\newtheorem{Exi}{\underline{\textbf{Exercice}}}
\newcommand{\Exoi}[1]{\begin{Exi} \emph{#1} \end{Exi}  \vspace{3mm}}
\everymath{\displaystyle}
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\definecolor{vert}{rgb}{0.47,0.72,0.13}
\newcommand*{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand*{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand*{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}12$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire
\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R^{+*}$ par :
$$ f(x)=\ln x$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal du plan.
\\
On cherche à résoudre l'équation $(E)$ : $\ln x=x$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $1$.
\item Démontrer que, pour tout $\x\in\R^{+*}$, on a :
$$ \ln x\leq x-1$$
En déduire la position de $\mathscr C_f$ par rapport à $T$.
\item En déduire que l'équation $(E)$ n'admet aucune solution dans $\R^{+*}$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (4 points)\\Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(O;\vec i, \vec j\right)$.
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par  :
$$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
\item En déduire les variations de la fonction $f$. 
\end{enumerate}
}


\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}12$}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis



\Exoi{\hfill (10 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R^{+*}$ par :
$$ f(x)=\dfrac{\ln (x^2+x)}{x}$$
\textbf{But} : On se propose de déterminer la limite en $+\infty$ et la limite en $0^+$ de $f$.\\
\textbf{Partie A : La limite de $f$ en $+\infty$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $x\in \R^{+*}$, on a :
$$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{\ln(x+1)}{x}$$
\item En déduire que, pour $x\in\R^{+*}$, on a :
$$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}$$
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
%\item En déduire que la fonction $g$ définie sur $\R^{+*}$ par $g(x)=f(x)+2x+1$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ dont on donnera une équation.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : La limite de $f$ en $0^+$}\\
On considère la fonction $h$ définie sur $\R^{+*}$ par $h(x)=\ln(x+1)-x$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $h$ en $0^+$.
\item Etudier les variations de la fonction $h$. En déduire que pour tout $x\in\R^{+*}$ :
$$ \ln(x+1)\leq x$$
\item Démontrer que, pour $x\in\R^{+*}$ :
$$ 0\leq \dfrac{\ln (x+1)}{x}\leq 1$$
\item En utilisant le fait que $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{\ln(x+1)}{x}$, démontrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ on a :
$$ \dfrac{\ln x}{x}\leq f(x)\leq 1+\dfrac{\ln x}{x}$$
Conclure.
\end{enumerate}
}



\end{document}
