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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Nombres Complexes}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DS 6 : Nombres Complexes et Logarithme Népérien}

\Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{enumerate}
\item Soit f la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
\[f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 0$. 
\\
Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$.
 \\
La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est définie par $u_{0} = 1,5$ et pour tout entier naturel $n \::$
\\
$u_{n+1} = g\left(u_{n}\right) =  \ln \left(1 + \dfrac{1}{u_{n}}\right)$.
\\
On a représenté la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $g$ et la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur l'axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ 
		\item Le graphique permet-il d'émettre les conjectures suivantes ? 
	\\	
On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou NON. 
\\
Aucune justification n'est demandée.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Conjecture \no 1 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est monotone. \fg 
\item[$\bullet~~$] Conjecture \no 2 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est minorée par $0,5$. \fg 
\item[$\bullet~~$] Conjecture \no 3 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers 1. \fg 
\end{itemize}
		\item On admet que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente vers une limite $\ell$ strictement positive.
		\\ 
Montrer que $\ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right) = \ell$. 
		\item Montrer que $\ell = \alpha$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{center}

\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(2.1,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(2.1,1.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2,1.5)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.2}{2}{1 1 x div add ln}
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(1.5,1.5)
\uput[dr](1.5,1.5){$\mathcal{D}$}
\uput[u](2,0){$x$}\uput[l](0,1.4){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.8,0.45){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{center}
\pagebreak
\Exoi{\hfill (10 points)\\
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O;\vec u, \vec v)$, on considère les points A et B d'affixes respectives :
\[z_{\text{A}} = 1 - \text{i}\quad  \text{et} \quad  z_{\text{B}} = 2 + \sqrt{3} + \text{i}.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique.  
		\item Montrer que  $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		\item En déduire la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$.
	\end{enumerate} 
\item On note B$_{1}$ l'image du point B par la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{6}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point B$_{1}$. 
		\item En déduire que le point B$_{1}$ est le symétrique du point B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $M$ un point du plan. On note $M_{1}$ l'image du point $M$ par la rotation $r$ et $M'$ le symétrique du point $M_{1}$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
 \\
On d\'esigne par (E) l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M' = M$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points O et B appartiennent à l'ensemble (E). 
		\item Soit $M$ un point distinct du point O.
	\\	 
Son affixe $z$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\rho$ est un réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel.
 \\
Montrer que l'affixe $z'$ du point $M'$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right)}$ puis déterminer l'ensemble des valeurs du réel $\theta$ telles que $M$ appartienne à l'ensemble (E). 
		\item Déterminer l'ensemble (E).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}



\end{document}
