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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Nombres Complexes}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DS 5 : Nombres Complexes}

\Exoi{\hfill (10 points)\\
Pour tout nombre complexe $z$, on définit :
$$ P(z)=z^3-4(\sqrt{2}+1)z^2+16(\sqrt{2}+1)z-64$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(4)$.
\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que :
$$ P(z)=(z-4)(z^2+az+b)$$
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$. 
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : $1$ cm).\\
On note $A$, $B$, $C$  et $D$ les points d'affixes respectives $z_A=4$, $z_B=2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}$, $z_C=2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}$ et $z_D=-2+2i\sqrt{3}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le module de $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle $\mathscr C$ dont on précisera le centre et le rayon.
\item Déterminer l'argument des nombres complexes $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. Donner la forme trigonométrique puis la forme exponentielle des nombres complexes $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$.
\item Placer sur un graphique les points $A$, $B$, $C$ et $D$ à l'aide de la règle (non graduée) et du compas, en respectant l'unité imposé par l'énoncé.
\item On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $z_I$ son affixe.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique de $z_I$, puis le module de $z_I$.
\item Démontrer que le triangle $OAB$ est isocèle. En déduire l'argument de $z_I$.
\item Donner la forme trigonométrique de $z_I$.
\item Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de :
$$ \cos \dfrac{\pi}{8}\qquad \text{et}\qquad \sin\dfrac{\pi}{8}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item On note $E$ et $F$ les points d'affixes respectives $z_E=z_B\times z_C$. et $z_F=\dfrac{z_D}{z_I}$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique de $z_E$ et $z_F$.
\item Déterminer la forme trigonométrique de $z_E$ et $z_F$.
\item \textbf{[Bonus]} Donner les valeurs exactes de : $$ \cos \dfrac{13\pi}{24}\qquad \text{et}\qquad \sin \dfrac{13\pi}{24}$$ 
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (4 points)\\
Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie la condition donnée :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $M\in\mathscr C\Longleftrightarrow |z-5|=|z-1-3i|$
\item $M\in\mathscr F \Longleftrightarrow |\overline{z}|=|z-i|$
\item $M\in\mathscr G\Longleftrightarrow arg(z-1)=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$
%\item $ M\in\mathscr H\Longleftrightarrow |z-4+i|=|z-3i |$
\item $ M\in\mathscr K\Longleftrightarrow | \overline{z} -4-i|=4$
%\item  $  M\in\mathscr L\Longleftrightarrow arg( \overline{z}) =arg(-z)[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (6 points)\\
\textbf{Partie I}\\
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=e^x(1-x)+1$$
On note $\mathscr C_g$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Limites et Asymptotes}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$. 
\item Déteminer la limite de $g$ en $-\infty$. En déduire que la courbe $\mathscr C_g$ admet une asymptote $\mathscr D$ que l'on précisera.
\end{enumerate}
\item \textbf{Dérivée, Variation et signe de $g$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in\R$ on a :
$$ g'(x)=-xe^x$$
\item Dresser le tableau des variations (en justifiant) de la fonction $g$, préciser les extremums de $g$.
\item Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique solution que l'on note $\alpha$
\item A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
\item Démontrer que $e^\alpha=\dfrac{1}{\alpha-1}$.
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Tangente et représentation graphique}
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la tangente $T_0$ à $\mathscr C_g$ au point d'abscisse $0$.
\item Déterminer l'équation de la tangente $T_1$ à $\mathscr C_g$ au point d'abscisse $1$.
\item Montrer que $\mathscr C_g$ est au dessous de $T_1$ pour tout $x\neq 1$.
\item Tracer dans un repère les droites $\mathscr D$, $T_0$, $T_1$ et la courbe $\mathscr C_g$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie II}\hfill(éventuellement bonus)\\
Soit $A$ la fonction déﬁnie et dérivable sur $\R$ telle que 
$$ A(x)=\dfrac{4x}{e^x+1}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A' (x )$ a le même signe que $g (x )$, 
où $g$ est la fonction déﬁnie dans la partie I.
\item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $\R$.
\item Déterminer les limites de $A$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\end{enumerate}
}

\end{document}
