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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Exponentielle}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DS 4 : Exponentielle}

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (2 points)\\
On suppose connu le résultat suivant :\\
La fonction $x \mapsto  \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$.
\\
Soit $a$ un réel donné.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.
		\item Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante. (On montrera $h'=0$)
		\item  	En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y' =  ay$.
	\end{enumerate}}
%\vspace*{1cm}

\Exoi{\hfill (9 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]
On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repére orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{1}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$, on a : 
		\[f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2\]
		\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Que peut-on dire de la tangente $\mathcal{D}_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point I d'abscisse $\ln 3$ ? 
		\item En utilisant les variations de la fonction $f$, étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{2}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la tangente $\mathcal{D}_{3}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation : $y = \dfrac{1}{4} x + 1$. 
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $\mathcal{D}_{3}$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ \ln 3]$. 
		\\
On pourra utiliser la dérivée seconde de $f$ notée $f''$ définie pour tout $x$ de $\R$ par : 
\[ 
	f"(x) =  \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3  \right)^3}.\]
	\end{enumerate}
\item On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$. \\
Tracer la courbe  $\mathcal{C}$, les tangentes $\mathcal{D}_{3}, ~\mathcal{D}_{3}$ et les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$. On rappelle que l'unité graphique choisie est 2~cm. 
\end{enumerate}}


\pagebreak
\Exoi{\hfill (9 points)\\
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. 
\\ 
\textbf{Partie A :}
\\
On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E}) :\quad  y' + y = \text{e}^{-x}.\] 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $u$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $u(x) = x\text{e}^{-x}$ est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item On considère l'équation différentielle (E$'$) :  $y' + y = 0$. Résoudre l'équation différentielle (E$'$). 
\item Soit $v$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Montrer que la fonction $v$ est une solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si la fonction $v - u$ est solution de l'équation différentielle (E$'$). 
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle (E) telle que $g(0) = 2$.
\end{enumerate}
\\
\textbf{Partie B :}
\\
On considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
\[f_{k}(x) = (x + k)\text{e}^{-x}\]
où $k$ est un nombre réel donné.
 \\
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f_{k}$ admet un maximum en $x = 1- k$. 
\item On note $M_{k}$ le point de la courbe $\mathcal{C}_{k}$ d'abscisse $1- k$. Montrer que le point $M_{k}$ appartient à la courbe $\Gamma$ d'équation $y = \text{e}^{-x}$. 
\item Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l'unité sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n'apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la courbe $\Gamma$ d'équation $y = \text{e}^{-x}$ ; 
\item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}_{k}$ d'équation $y = (x + k)\text{e}^{-x}$ pour un certain nombre réel $k$ donn\'e.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item Identifier les courbes et les nommer sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie). 
		\item En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $k$ correspondante ainsi que l'unité graphique sur chacun des axes. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}
\pagebreak
(\textbf{\`a rendre avec la copie})

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(5,5)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-1.6}{5}{1 2.71828 x exp div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-2.25}{5}{x 2 add  2.71828 x exp div}
\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=-3+1}{8}{\psline(\n,0)(\n,-0.1)}
\multido{\n=-2+1}{7}{\psline(-0.1,\n)(0,\n)}
\end{pspicture}
\end{document}
