  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Exponentielle et équation différentielle}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 8 : Exponentielle et équation différentielle }

\Exoi{A l'instant $t=0$ ($t$ est exprimé en heure), on injecte dans le sang, par piqûre intravéineuse, une dose de $1,8$ unité d'une substance médicamenteuse. On suppose que la substance se répartit instantanément dans le sang et qu'elle est ensuite progressivement éliminée. On note $Q(t)$ la quantité de substance présente dans le sang à l'instant $t$, exprimée en unités adaptées.\\
On admet que le processus d'élimination peut se présenter mathématiquement par l'équation différentielle :
$$ Q'(t)=-\lambda Q(t)$$
où $\lambda$ est un nombre qui sera déterminé expérimentalement.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'on a $Q(t)=1,8 e^{-\lambda t}$.\\
Calculer la valeur de $\lambda$, sachant qu'au bout d'une heure la quantité de substance présente dans le sang a diminué de $30\%$.\\
On donnera d'abord la valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à $10^{-4}$ près.
\item Etudier le sens de variation de $Q$ pour $t\geq 0$, déterminer sa limite en $+\infty$, et tracer la courbe représentative $\mathscr C$ de $Q$ dans le plan $\mathscr P$.
\item Au bout de combien de temps la quantité de substance présente dans le sang a-t-elle été réduite de moitié ?\\
On  donnera la valeur exacte et une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près (on ne demande pas la conversion en heures, minutes et secondes).
\item On décide de réinjecter une dose analogue à l'instant $t=1$ (au bout d'une heure donc), puis aux instants $t=2$, $t=3$, etc.\\
On note $R_n$ la quantité de substance présente dans le sang à l'instant $t=n$, dès que la nouvelle injection est faite.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $R_1=1,8+0,7\times 1,8$
\item Montrer que $R_2=1,8+0,7R_1$ et calculer $R_2$.
\item Exprimer $R_{n+1}$ en fonction de $R_n$.
\item Montrer que, pour tout entier $n$, on a :
$$ R_n=6(1-0,7^{n+1})$$
\item Déterminer la limite de $R_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$$ f(x)=(x+1)^2e^{-x}$$
\begin{enumerate}
\item Etudier la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter géométriquement.
\item Etudier, lorsque $x$ tend vers $-\infty$, les limites de $f(x)$ et de $\dfrac{f(x)}{x}$. Interpréter géométriquement.
\item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item Tracer la courbe $\mathscr C_f$ (on précisera la tangente au point d'abscisse $0$).
\end{enumerate} }

\Exoi{La fonction suivante permet de modéliser des phénomènes aléatoires se produisant en moyenne trois fois par unité de temps (loi \og gamma trois \fg) :
$$ f(x)=\dfrac{1}{2}x^2e^{-x}\qquad x\geq 0$$
Etudier la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$ (limite en $+\infty$, dérivée et sens de variation)}

\end{document}
