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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Petits exercices sur le produit scalaire}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 4 : Le produit scalaire}


\vspace*{1cm}

\Exoi{Un tétraèdre $ABCD$ est tel que $(AB)$ est orthogonal au plan $(BCD)$.
\begin{enumerate}
\item Comparer les produits scalaires $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}$.
\item En déduire que le triangle $ACD$ est rectangle en $C$ si, et seulement si, le triangle $BCD$ est rectangle en $C$.
\end{enumerate}}

\Exoi{On donne les points $A(3;-1;4)$ et $B(0;5;1)$. \\
Montrer que $(AB)$ est orthogonale au plan d'équation : 
$$ x-2y+z-1=0$$}

\Exoi{Soit un triangle $ABC$, $G$ le centre de gravité du triangle, $O$ le centre du cercle qui lui circonscrit et $H$ le point défini par :
$$ \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\quad (1)$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB}=0$.
\\
En dédire que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.
\item Déduire de $(1)$ que $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$ (relation d'Euler, puis que $O$, $G$ et $H$ sont alignés.
\end{enumerate}}
\vfill


\Cr{DM 4 : Le produit scalaire}
\setcounter{Exi}{0}

\vspace*{1cm}

\Exoi{Un tétraèdre $ABCD$ est tel que $(AB)$ est orthogonal au plan $(BCD)$.
\begin{enumerate}
\item Comparer les produits scalaires $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}$.
\item En déduire que le triangle $ACD$ est rectangle en $C$ si, et seulement si, le triangle $BCD$ est rectangle en $C$.
\end{enumerate}}

\Exoi{On donne les points $A(3;-1;4)$ et $B(0;5;1)$. \\
Montrer que $(AB)$ est orthogonale au plan d'équation : 
$$ x-2y+z-1=0$$}

\Exoi{Soit un triangle $ABC$, $G$ le centre de gravité du triangle, $O$ le centre du cercle qui lui circonscrit et $H$ le point défini par :
$$ \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\quad (1)$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB}=0$.
\\
En dédire que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.
\item Déduire de $(1)$ que $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$ (relation d'Euler, puis que $O$, $G$ et $H$ sont alignés.
\end{enumerate}}
\end{document}
