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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Approximation de $\sqrt{2}$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 3 : L'algorithme de Babylone - Approximation de $\sqrt{2}$}


\vspace*{1cm}

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$, définie sur $]0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$$
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $f$.
\item Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$, et montrer que la représentation graphique $\mathscr C_f$ admet une asymptote oblique $\Delta$.
\item Représenter graphiquement $\mathscr C_f$ et $\Delta$. Préciser les coordonnées du point d'intersection de $\mathscr C_f$ avec la droite d'équation $y=x$ (que l'on tracera).
\end{enumerate}
\item On définit une suite $(u_n)$ par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=f(u_n)=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement les premiers termes de la suite $(u_n)$ sur le dessin de la question $1)(c)$.
\item Conjecturer alors le comportement de $(u_n)$ : sens de variation et limite.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ sous forme fractionnaire.
\item Vérifier, à l'aide de la calculatrice, les inégalités :
$$ u_0<\sqrt{2}<u_4<u_3<u_2<u_1$$ 
\item Montrer par récurrence la propriété $\mathscr P(n)$ pour $n\geq 1$ :
$$ \mathscr P(n) : \sqrt{2}<u_{n+1}<u_n\leq \dfrac{3}{2}$$
En déduire le sens de variation de $(u_n)$, ainsi que la convergence de $(u_n)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Seul les élèves curieux, motivé et à l'aise avec les suites tenteront de traiter cette question.}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\geq 1$ :
$$ \left|u_n-\sqrt{2}\right|\leq \dfrac{1}{2}(u_{n-1}-\sqrt{2})^2$$
\item Vérifier que $$ \left|u_0-\sqrt{2}\right|<\dfrac{1}{2}$$
En déduire par récurrence que, pour tout $n\geq 0$ :
$$ \left|u_n-\sqrt{2}\right|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^{n+1}-1}$$
\item Prouver que, pour tout $n\geq 0$, $2^{n+1}-1\geq n+1$.
\\
En déduire la limite de $(u_n)$.
\item A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ tel que :
$$ (0,5)^{2^{n+1}-1}<10^{-100}$$
En déduire que $u_8\simeq \sqrt{2}$ à $10^{-100}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
