  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Suite arithmético-géométrique}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 2 : Suites définies par $u_{n+1}=au_n+b$}


\vspace*{1cm}

\Cadre[Problème]{Dans une réserve, une population initiale de $1500$ animaux évolue ainsi : chaque année $15\%$ des animaux disparaissent (c'est le bilan global des naissances et des décès) et on introduit $100$ animaux supplémentaires.\\
Décrire l'évolution de cette population au bout de $n$ années (on la note $u_n$, avec $u_0=1500$}

\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$
\item Représenter sur l'axe des abscisses les premiers termes de la suite $u_n$ (on a représenté en bleu la droite d'équation $y=0,85x+100$ et en noir la droite d'équation $y=x$.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.007cm , yunit=0.007cm}
\begin{pspicture*}(-100,-100)(1700,1700)
\def\xmin{0} \def\xmax{1600} \def\ymin{0} \def\ymax{1600}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-100,-100)(1700,1700)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1500,0)(1500,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1500,0)(1500,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1500,1375)(0,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1500,1375)(0,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1375)(1375,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,1375)(1375,1375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1375,1375)(1375,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1375,1375)(1375,0)
\def\F{0.85 x mul 100 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{2000}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{2000}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=400,Dy=500,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1500,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,1375){\small $u_1$}
\uput[-90](1375,0){\small $u_1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item On note $\alpha$ la solution de l'équation $x=0,85x+100$, déterminer $\alpha$.
\item On note $(v_n)$ la suite définie par $v_n=u_n-\alpha$.\\
Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. 
\item En déduire $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
\item Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.
\item Que se passe-t-il au bout d'un très grand nombre d'année dans cette réserve.
\end{enumerate}
\end{document}
