  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Probabilité-Dénombrement}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 11}
\rhead{Probabilité}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 18 : Probabilités - Dénombrement}

\vspace*{0.7cm}

\Exoi{\textbf{Le Poker}\\
Une main au poker est constituée de 5 cartes tirées d'un jeu de 52
 cartes.
Combien y a-t-il de mains contenant des carrés (XXXXY) ? des fulls (XXXYY) ? des brelans (XXXYZ) ? des doubles paires (XXYYZ) ? des
paires (XXYZA) ?
\\
Deux lettres identiques (par exemple XX) correspondent à deux cartes de même hauteur (par exemple deux dames).
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $123552$ doubles
paires, $1098240$ paires.}\end{flushright} 
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 624 carrés, 3744 fulls, $54912$ brelans}\end{flushright}
}

\Exoi{\textbf{Périclès, la grèce et l'ouzo !} \\
Périclès est goutteur d'olives dans une usine grecque. Un
matin, il goutte cent olives au hasard et les replace dans le réservoir.\\
L'après-midi, l'ouzo de l'apéritif lui a fait perdre la mémoire. Il goutte à nouveau cent olives dans le même réservoir. Douze d'entre
elles avaient déjà été machées.
\\
On note $A$ l'événement \og il y a douze olives machées parmi les cent choisies \fg et $B_n$ l'événement \og il y a $n$ olives dans le
réservoir \fg.
\\
On considère la fonction $f$ définie pour les entiers supérieurs à cent  par
%\end{minipage}
$$f(n)=P_{B_n}(A)$$ et la suite $(u_n)$ définie pour les entiers
supérieurs à $100$ par
$$u_n=\dfrac{f(n+1)}{f(n)}$$
\begin{enumerate}
\item Comparez $u_n$ à 1.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $u_n=\frac{\binom{100}{12}\binom{n-100}{88}\binom{n+1}{100}}{\binom{100}{12}\binom{n-99}{88}\binom{n}{100}}$}\end{flushright}
%\jok{$u_n=\fr{\binom{100}{12}\binom{n-100}{88}\binom{n+1}{100}}{\binom{100}{12}\binom{n-99}{88}\binom{n}{100}}$}
 \item Montrez que la fonction $f$ atteint un maximum sur $[\![100,+\infty[\![$.
  \item On appelle
\textsl{maximum de vraissemblance} $m$ la valeur de $n$ correspondant à ce maximum. Déterminez $m$. \end{enumerate}
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $m=833$}\end{flushright}}


\Exoi{\textbf{Un problème d'âge}\\
Le capitaine des pompiers de New-York réside \`a l'angle de la
 7$^\text{ème}$
rue et de la 33$^\text{ème}$  avenue. La caserne se trouve \`a l'angle de la 15$^\text{ème}$  rue et de la 40$^\text{ème}$  avenue. Il s'y rend tous les jours \`a
pied et sans perdre de temps (i.e. dans le sens des numéros croissants aussi bien pour les rues que pour les avenues). Sachant qu'il a
commencé \`a travailler le jour de ses 18 ans, et sachant qu'il n'est jamais passé deux fois par le m\^eme chemin, quel est l'\^age
maximum du capitaine ?
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: maximum 35 ans.}\end{flushright}}

\end{document}
