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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Le Logarithme N\'ep\'erien}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 8}
\rhead{Logarithme Népérien}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 12 : Logarithme népérien (Limites et étude de fonction) }

\vspace*{1cm}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\quad \forall x\in\R^* \qquad \text{et} \qquad g(0)=0 $$
% \begin{enumerate}
Que doit-on prouver pour démontrer que $g$ est continue en $0$ (et donc sur $\R$) ?\\
\textbf{Objectif : Démontrer que la fonction $g$ est continue en $0$ de deux manières différentes.}
\item \textbf{$1^\text{ère}$ méthode} : Etude de $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$ en utilisant le théorème des gendarmes.
\\
Soit $h$ la fonction définie sur $\R^+$ par : $$ h(X)=\ln(X+1)-X$$ 
\begin{enumerate}
\item Calculer $\lim\limits_{X\to 0^+} h(X)$.
\item Etudier les variations de $h$, puis dresser son tableau de variations sur $\R^+$.
\item En déduire que :
$$ \forall X\in\R^+ \qquad \ln(X+1)\leq X$$
\item En déduire que :
$$ \forall x\in\R \qquad 0\leq \ln(x^2+1)\leq x^2$$
\item Déduire de la question précédente :
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in\R^+$ :
$$ 0\leq \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\leq x$$
En déduire $\lim\limits_{x\to 0^+}  \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$.
\item $\forall x\in\R^-$ :
$$ x\leq \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\leq 0$$
En déduire $\lim\limits_{x\to 0^-}  \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$.
\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}
\item \textbf{$2^\text{ème}$ méthode} : Etude de  $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$ en utilisant la définition du nombre dérivée.\\
On rappelle que si $f$ est une fonction dérivable en $a$ alors :
$$ f'(a)=\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer une fonction $f$ et un réel $a$ tel que :
$$ \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$$
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in\R$.
\item En déduire $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$, puis conclure.
\end{enumerate}
%\end{enumerate}
\end{document}
