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\newcommand{\Ch}{Le Logarithme N\'ep\'erien}	
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\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 8}
\rhead{Logarithme Décimal}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 11 : Logarithme népérien (ou plutôt logarithme décimal) }

\vspace*{1cm}
\textbf{Partie I: Etude de la fonction logarithme décimal.} 
\\
On considère la fonction $\log$, aussi appelé logarithme décimal, définie sur $\R^{+*}$ par :
$$ \log(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$$

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $\log$ en $+\infty$ et en $0^+$. Peut-on en déduire l'existence d'une asymptote.
\item Etudier les variations de la fonction $\log$. Dresser son tableau de variation sur $\R^{+*}$.
\item Montrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ et pour tout $y\in\R^{+*}$ on a :
$$ \log(xy)=\log x+\log y\qquad \text{et}\qquad \log \dfrac{x}{y}=\log x-\log y$$
\item Montrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ et pour tout $n\in\Z$ on a :
$$ \log(x^n)=n\log x$$
\end{enumerate}

\textbf{Partie II : Ecriture Scientifique (caractéristique et mantisse), et logarithme décimal}

\\
Tout nombre réel $x$ strictement positif admet une écriture scientifique de la forme :
$$ x=a\times 10^n\qquad \text{avec }a\in[1;10[ \text{ et } n\in\Z $$
%On dit alors que $a$ est la \underline{caractéristique} de $x$ et $n$ sa \underline{mantisse}.
\begin{enumerate}
\item Donner l'écriture scientifique de $1450$, puis de $0,000314$.
\item Montrer que $\log (1450)=3+\log(1,45)$. Proposer une écriture semblable pour $\log(0,000314)$.
\item Montrer qu'il existe un réel $a\in[1;10[$ et un entier $n$ tels que   
$$\log x=n+\log a$$
\Rq{\begin{itemize}
\item Puisque la fonction $\log$ est croissante sur $\R^{+*}$, pour tout réel $a$ compris entre 1 et 10 (exclu), $\log(a)$ est compris entre 0 et 1. L'entier relatif $n$ est donc la partie entière de $\log(x)$ et $\log(a)$ la partie décimale à ajouter à $n$ pour obtenir $\log(x)$.
\item La partie entière de $\log(x)$ est appelée la \textbf{caractéristique} du $\log$.
\item La partie décimale à rajouter à la partie entière s'appelle la \textbf{mantisse}.
\end{itemize}
}
\end{enumerate}

\textbf{Partie III : Effectuer sans calculatrice un calcul en utilisant une table du logarithme décimal}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\log(1,5)=\log 15-1$. En déduire à l'aide de la table la valeur à $10^{-4}$ près de $\log 1,5$.
\item En utilisant un raisonnement analogue, lire sur la table la valeur à $10^{-4}$ près de $\log 3,2$.
\item En utilisant l'égalité $\log(xy)=\log x+\log y$, montrer que : $\log (1,5\times 3,2)\simeq 0,6812$.
\item En utilisant la table des log, en déduire que $1,5\times 3,2\simeq 4,8$.
\item \begin{enumerate}
\item A l'aide de la table des logarithmes montrer que :
$$ \log \sqrt[3]{50}\simeq 0,56$$
\item Constater, à l'aide de la table des logarithmes que $\log 37-1\simeq 0,56$.
\item En déduire que $\sqrt[3]{50}\simeq 3,7$.
\end{enumerate}
\item En utilisant une démarche similaire, démontrer à l'aide de la table du logarithme décimal que :
$$ \sqrt[4]{70}\simeq 2,9$$
\end{enumerate}


\pagebreak

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.95]{tables.eps}
\end{center}
\end{document}
