\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercice

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\newcommand{\ch}{Chapitre 10}
\newcommand{\Ch}{Produit Scalaire}	
\newcommand{\Cl}{1S}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
\begin{document}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoDav
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\section{Applications aux vecteurs orthogonaux}

\Exoi{Dans un repère orthonormal, les points $A$, $B$ et $C$ ont pour coordonnées respectives $(1;1)$, $(3;4)$ et $(3-k;-1)$ où $k$ est un réel.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le réel $k$ afin que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$.
\item Démontrer que le triangle $ABC$ est alors isocèle en $A$.
\end{enumerate}}

\begin{multicols}{2}
\Exoi{Sur la figure ci-contre on a tracé deux cercles $\mathscr C$ et $\mathscr C'$ de centre $O$ et de rayons respectifs $2$ et $3$. \\
Le repère $(O;\vec i,\vec j)$ est orthonormal.
\\ Calculer les produits scalaires suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OJ}$
\item $ \overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OK}$
\item $ \overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OB}$
\item $ \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}$
\item $ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AI}$
\item $ \overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IJ}$
\item $ \overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{BA}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{3.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-4.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[-30.0000](2.0000,0.0000){I}
\uput{0.3000}[-30.0000](3.0000,0.0000){J}
\uput{0.3000}[45.0000](0.0000,0.0000){O}
\pscircle(0.0000,0.0000){1.4000}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](2.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](3.0000,0.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){2.1000}
\uput{0.3000}[-210.0000](-3.0000,0.0000){K}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-3.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[120.0000](0.0000,2.0000){A}
\uput{0.3000}[-120.0000](-1.5000,-2.5800){B}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-1.5000,-2.5800)
\psline(0.0000,0.0000)(-1.5000,-2.5800)
\psarc(0.0000,0.0000){0.5000}{180.0000}{-120.1735}
\uput{0.3000}[45.0000](1.4100,1.4100){$\mathscr C$}
\uput{0.3000}[45.0000](2.1100,2.1100){$\mathscr C'$}
\uput{0.3000}[-145.0000](-0.2000,-0.2000){$60^\circ$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{multicols}
\Exoi{Dans chacun des cas suivants, calculer $\vec u\cdot \vec v$ :
\begin{enumerate}
\item $\vec u(2;3)$ et $\vec v(-1;5)$
\item $\mid\mid\vec u\mid \mid=1$ ; $\mid\mid\vec v\mid \mid=2$ ; $(\vec u,\vec v)=\dfrac{2\pi}{3}$ rad
\item $\mid\mid\vec u\mid \mid=2$ ; $\mid\mid\vec v\mid \mid=3$ et $\mid\mid\vec u+\vec v\mid \mid=3$
\item $\mid\mid\vec u\mid \mid=1$ ; $\mid\mid\vec v\mid \mid=3$ ; $(\vec u,\vec v)=0$ rad
\item $\mid\mid\vec u\mid \mid=2$ ; $\mid\mid\vec v\mid \mid=3$ ; $(\vec u,\vec v)=\pi$ rad
\item Dans un repère $(O;\vec i,\vec j)$ orthonormal : $\vec u=2\vec i-3\vec j$ et $\vec v=-\vec i+2\vec j$
\end{enumerate}}

\Exoi{On prend le centimètre comme unité.\\
Construire un triangle $ABC$ tel que :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $AB=3$, $AC=6$ et $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=9$
\item $AB=4$, $AC=5$ et $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-12$
\item  $AB=3$, $AC=4$ et $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{On considère un segment $[AB]$ et $O$ son milieu. Soit $\Delta$ la médiatrice du segment $[AB]$ et $M\in\Delta$\\
Montrer que : $$ \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}AB^2$$}

\Exoi{$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $5$ cm. $I$ est le milieu de $[BC]$. Calculer les produits scalaires suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$
\item $ \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CI}$
\item $ \left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AI}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\begin{multicols}{2}
\Exoi{Soit $ABCD$ un carré, on construit un rectangle $APQR$ tel que :
\begin{itemize}
\item $P$ et $R$ sont sur les côtés $ [AB]$ et $[AD]$ du carré
\item $AP=DR$
\end{itemize}
\underline{But} : On souhaite montrer que les droites $(PR)$ et $(CQ)$ sont perpendiculaires
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $ \overrightarrow{CQ}\cdot \overrightarrow{PR}=\overrightarrow{CQ}\cdot \left(\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}\right)$
\item En déduire que les droites $(PR)$ et $(CQ)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[-90.0000](-2.0000,-2.0000){A}
\uput{0.3000}[-90.0000](2.0000,-2.0000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.0000,2.0000){C}
\uput{0.3000}[90.0000](-2.0000,2.0000){D}
\psline(-2.0000,-2.0000)(2.0000,-2.0000)
\psline(2.0000,-2.0000)(2.0000,2.0000)
\psline(2.0000,2.0000)(-2.0000,2.0000)
\psline(-2.0000,2.0000)(-2.0000,-2.0000)
\uput{0.3000}[-90.0000](-1.0000,-2.0000){P}
\uput{0.3000}[180.0000](-2.0000,1.0000){R}
\uput{0.3000}[90.0000](-1.0000,1.0000){Q}
\psline[linecolor=black,linestyle=dashed](-1.0000,-2.0000)(-1.0000,1.0000)
\psline[linecolor=black,linestyle=dashed](-1.0000,1.0000)(-2.0000,1.0000)
\psline[linecolor=blue](-2.0000,0.6667)(8.0000,4.0000)
\psline[linecolor=blue](-1.0000,-2.0000)(-2.0000,1.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{multicols}

\Exoi{$ABC$ est un triangle dans lequel $AB=2$ et $AC=3$. De plus $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4$\\
$ABC$ est-il rectangle ? Si oui, préciser le sommet.  }

\Exoi{$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB=4$, $AD=5$ et $ AC=7$\\
Calculer $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$. En déduire $BD$. }

\Exoi{$\mathscr C$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ et $M$ un point non situé sur $\mathscr C$. Deux droites issues de $M$ coupent $\mathscr C$ respectivement en $A$ et $B$ et en $C$ et $D$\\
\underline{But } : Montrer que $ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MD}$\\
On note $A'$ le point diamétralement opposé à $A$ sur $\mathscr C$
\begin{enumerate}
\item Faire deux figures suivant que $M$ est à l'intérieur ou à l'extérieur de $\mathscr C$
\item Démontrer que $ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MA'}$
\item \begin{enumerate}
\item En utilisant la relation de Chasles, démontrer que : $$ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MA'}=MO^2-r^2$$
\item En déduire que $ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MD}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Cadre[Note]{On montre ainsi que le produit scalaire $ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ est indépendant de la sécante issue de $M$, il ne dépend que de la distance de $M$ à $O$. Le réel $MO^2-r^2$ (qui est nul lorsque $M$ est un point de $\mathscr C$) est appelé \underline{puissance de $M$ par rapport à $\mathscr C$}. Il est positif lorsque $M$ est à l'extérieur de $\mathscr C$ et négatif si $M$ est à l'intérieur de $\mathscr C$}

\Exoi{On construit un triangle équilatéral $AEB$ de côté $1$ et deux carrés $ABCD$ et $BGFE$ comme sur la figure ci-dessous
\begin{enumerate}
\item Calculer $ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BE}$, en déduire $ \overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{BE}$
\item Calculer $ \overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{EB}$
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle $BCG$ est équilatéral.
\item En déduire $ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BG}$
\end{enumerate}
\item Calculer $ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EF}$
\item En utilisant la relation de Chasles, calculer $ \overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{BF}$
\item En déduire que les points $D$, $E$ et $G$ sont alignés.
\end{enumerate}}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4.2,-4.2)(10.2,7.2)
\def\xmin{-4} \def\xmax{10} \def\ymin{-4} \def\ymax{7}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-4.2)(10.2,7.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[-90.0000](-3.0000,-2.0000){A}
\uput{0.3000}[-90.0000](3.0000,-2.0000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,3.0000){C}
\uput{0.3000}[90.0000](-3.0000,3.0000){D}
\psline(-3.0000,-2.0000)(-3.0000,3.0000)
\psline(-3.0000,-2.0000)(3.0000,-2.0000)
\psline(3.0000,-2.0000)(3.0000,3.0000)
\psline(3.0000,3.0000)(-3.0000,3.0000)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,2.7000){E}
\psline(-3.0000,-2.0000)(0.0000,2.7000)
\psline(0.0000,2.7000)(3.0000,-2.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](5.1000,5.9000)
\uput{0.3000}[0.0000](5.1000,5.9000){F}
\psline(0.0000,2.7000)(5.1000,5.9000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](8.0000,1.2000)
\uput{0.3000}[0.0000](8.0000,1.2000){G}
\psline(3.0000,-2.0000)(8.0000,1.2000)
\psline(5.1000,5.9000)(8.0000,1.2000)
\psline[linecolor=black,linestyle=dashed](5.100,5.9000)(3.0000,-2.000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

%\Exoi{$ABCD$ est un rectangle tel que $AD=3$ et $AB=5$. $I$ est le milieu de $[AB]$
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $AC$ et $DI$
%\item Exprimer chacun des vecteurs $ \overrightarrow{AC}$ et $ \overrightarrow{DI}$ en fonction des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AD}$, puis calculer le produit scalaire : $ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DI}$
%\item En déduire la valeur de l'angle $\theta=\left(\overrightarrow{DI};\overrightarrow{AC}\right)$ à 0,001 près en degrés.
%\end{enumerate}}
%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-4.2,-3.2)(4.2,3.2)
%\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-3.2)(4.2,3.2)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\uput{0.3000}[-90.0000](-3.0000,-2.0000){A}
%\uput{0.3000}[-90.0000](3.0000,-2.0000){B}
%\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,2.0000){C}
%\uput{0.3000}[90.0000](-3.0000,2.0000){D}
%\psline(-3.0000,-2.0000)(-3.0000,2.0000)
%\psline(-3.0000,-2.0000)(3.0000,-2.0000)
%\psline(3.0000,-2.0000)(3.0000,2.0000)
%\psline(3.0000,2.0000)(-3.0000,2.0000)
%\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-2.0000){I}
%\psline(-3.0000,2.0000)(0.0000,-2.0000)
%\psline(-3.0000,-2.0000)(3.0000,2.0000)
%\psarc(-1.0000,-0.6667){0.5000}{-53.1301}{33.6901}
%\psline(-1.5000,-1.8500)(-1.5000,-2.1500)
%\psline(1.5000,-1.8500)(1.5000,-2.1500)
%\uput{0.3000}[0.0000](-0.7000,-0.8000){$\theta$}
%\endpsclip
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\Exoi{Le but de cet exercice est de démontrer, à l'aide du produit scalaire, que les hauteurs d'un triangle sont 
concourantes. \\
Soit $ABC$ un triangle. On note $A'$, $B'$ et $C'$ les projetés orthogonaux respectifs de $A$, $B$ et $C$ sur $(BC)$, $(AC)$ et 
$(AB)$.\\
On note $H = (BB') \cap (CC')$
\begin{enumerate}
\item Que valent les produits scalaires suivants : $ \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}$ et $ \overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB}$
\item Calculer $ \overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}$
\item Conclure.
\end{enumerate} 
}

\section{Applications aux cercles et au droites}

\Exoi{On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$. Examiner si les équations suivantes sont des équations de 
cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle : 
\begin{enumerate}
\item $ x^2+y^2-2x-6y+5=0$
\item $x^2+y^2-x-3y+3=0$
\end{enumerate}
}

\Exoi{On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$. On considère un triangle $ABC$ avec$ A(–1 ; 2)$, $B(3 ; 1)$ et $C(2 ; 4)$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la médiatrice du segment $[AB]$.
\item Déterminer une équation de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$. 
\end{enumerate}}

\Exoi{Dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$, on donne un point $\varOmega(2;-3)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation du cercle $\mathscr C$ de centre $\varOmega$ et de rayon $R = 5$.
\item Démontrer que le point $A(-2;0)$ est un point du cercle $\mathscr C$.  
\item Déterminer  une équation cartésienne de la tangente en $A$ au cercle $\mathscr C$.
\end{enumerate} 
}
\Exoi{Dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$, on considère les points suivants : 
$$ A(2;1)\qquad B(7;2)\qquad C(3;4)$$
Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport : 
\begin{enumerate}
%\item Calculer les coordonnées du barycentre $G$ de $\{(A,3);(B,2);(C,-4)\}$. 
\item Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de $[BC]$.
\item Calculer $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. L'angle $\widehat{A}$ est-il droit ? 
\end{enumerate}
}

\Exoi{Dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$, on considère le point $A(3 ; 5)$.\\
Chercher une équation de la tangente en $A$ au cercle $\mathscr C$  de centre $O$ et de rayon $OA$. 
}







\Exoi{Dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$, on donne $A(-2 ; 2)$ et $B(2 ; 2)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu $I$ de$ [AB]$.
\item Démontrer que, pour tout point $M$ du plan, on a :  
$$MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$$
\item Démontrer que l'ensemble E des points M du plan tels que : $MA^2+MB^2 = 40 $
est un cercle $\mathscr C$ de centre $I$ et de rayon $r = 4$. 
\item Déterminer une équation du cercle $\mathscr C$.
\item Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d'intersection de $\mathscr C$ avec l'axe des abscisses. 
\item Soit $\lambda$ un réel négatif. Comment choisir $\lambda$ pour que le point $Z(7;\lambda)$ soit sur $\mathscr C$ ? 
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathscr T$ à $\mathscr C$ en $Z$. 
\end{enumerate} 
}


\Exoi{Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i,\vec j)$. On considère le cercle $\mathscr C$  passant par les points $A(4 ; 2)$ et $B(2 ; 6)$ et dont le centre $\varOmega$ est situé sur la droite $d$ 
d'équation $x +  y + 2 = 0$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure
\item Déterminer les coordonnées de $\varOmega$
\item Déterminer une équation de $\mathscr C$
\end{enumerate} 
 }
\section{Al Kashi}

\Exoi{
$ABC$ est un triangle tel que $AB=4$ ; $AC=3$ et $ ( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=70^\circ$. Calculer $BC$. }

\Exoi{
$ABC$ est un triangle tel que $AB=5$ ; $AC=3$ et $ ( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=72^\circ$. Calculer $BC$. }
\pagebreak

\section{Un exemple de devoir}
\Exop[Calculs (6 points)]{
\begin{enumerate}
 \item Dans les deux cas suivants, calculer la valeur exacte de $\vec u \cdot \vec v$ :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\mid\mid\vec u\mid \mid=3$ ; $\mid\mid\vec v\mid \mid=2$ ; $(\vec u,\vec v)=\dfrac{2\pi}{3}$ rad
\item $\mid\mid\vec u\mid \mid=2$ ; $\mid\mid\vec v\mid \mid=1$ et $\mid\mid\vec u+\vec v\mid \mid=4$
 \end{multicols}
\end{enumerate}
\item On considère deux vecteurs $\vec u $ et $\vec v$ tels que $||\vec u || = 2$, $||\vec v || = 3$ et $\vec u \cdot \vec v = -3\sqrt{3}$.\\
 Déterminer une mesure exacte de l'angle orienté $\left(\vec u ; \vec v \right)$.
\item Soient les points $A(1,-2)$, $B(2,3)$, $C(6,1)$ et $D(-4,3)$. \\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires ? \textit{Justifier}
\end{enumerate}
}



\Exop[Equations de droites et cercles (6 points)]{ Les questions 1 à 4 sont indépendantes. 
\begin{enumerate}
 \item Soient deux points $D(4,5)$  et $E(-3,1)$ du plan. Déterminer une équation de la médiatrice de $(DE)$.
 \item Déterminer une équation de la droite $\Delta$  passant par $C(-3;2)$  et perpendiculaire à $(d) : y=3x+2$.
\item Déterminer l'équation du cercle de diamètre $[AB]$ avec $A(-3,5)$ et $B(1,-4)$.
\item \begin{enumerate}
 \item Déterminer le rayon et le centre $\Omega$ du cercle $\mathscr C$ d'équation $x^2 + y^2 - 4 x + 2 y - 3 = 0$.
 \item Montrer que le point $A(4; -3)$ appartient au cercle $\mathscr C$.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
}


%\Exop[Equation de cercle et droite : 4 points]{
%\begin{enumerate}
% \item Déterminer le rayon et le centre $\Omega$ du cercle $\mathscr C$ d'équation $x^2 + y^2 - 4 x + 2 y - 3 = 0$.
%\item Montrer que le point $A(4; -3)$ appartient au cercle $\mathscr C$.
%\item Déterminer une équation cartésienne de la tangente $(T)$ au cercle $\mathscr C$ passant par $A$.
%\end{enumerate}
%}




\Exop[Projections orthogonales (3 points)]{
\begin{minipage}{11cm}
 $ABCD$ est un rectangle tel que $AD = 2$ et $AB = 4$ , $BDE$ est
un triangle rectangle isocèle en $D$. On nomme $I$ le milieu du
segment $[CD]$. On sait alors que $ID =\sqrt{8}$ et $IE = \sqrt{20}$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.4)(6.5,1.4)
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline(0,2)(8,2)
\psline(8,2)(8,-2)
\psline(8,-2)(0,-2)
\psline(0,-2)(0,2)
\psline(12,-2)(8,-2)
\psline(8,2)(12,-2)
\psline(4,2)(0,-2)
\psline(4,2)(12,-2)
\rput[bl](0.13,2.21){\blue{$A$}}
\rput[bl](8.15,2.21){\blue{$B$}}
\rput[bl](8.15,-2.7){\blue{$C$}}
\rput[bl](0.13,-2.7){\blue{$D$}}
\rput[bl](12.12,-1.8){\blue{$E$}}
\rput[bl](4.14,2.21){\darkgray{$I$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item Calculer les produits scalaires suivants : $\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{CE}$ , 
$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{ID}\cdot\overrightarrow{IB}$.
\item  Développer puis calculer $(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AD}) \cdot ( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} )$.\\
Que peut-on en déduire pour les droites $(ID)$ et $(BE)$ ?
\end{enumerate}
} 


\Exop[(2 points)]{
Dans le triangle $IDE$ de l'exercice ci-dessus, calculer l'angle $\hat I$ en radian au centième près.\\
On rappelle que $ID=\sqrt{8}$, $IE=\sqrt{20}$ et $DE=6$.
}


\Exop[(4 points)]{
\begin{enumerate}
 \item $ABT$ est un triangle tel que $AT=53$, $BT=142$ et $\hat T = 35^{\circ}$.\\
Faire un schéma codé puis calculer le côté $AB$ du triangle au dixième près.
\item \textbf{Application} :
Deux avions de ligne volent l'un vers l'autre à 800 km/h. Un aiguilleur du ciel s'en aperçoit depuis la tour de contrôle.\\
Il note instantanément que le premier avion est à 53 km de la tour, que le second avion est 142 km et enfin 
que l'angle entre les deux avions depuis la tour (ie sous l'angle de vue de l'aiguilleur) est de 35°.
Combien de temps (tronqué à la minute près) l'aiguilleur a-t-il pour intervenir avant le crash ? \textit{Détailler votre réponse.}
\end{enumerate}
}


%\Exop[2 points]{
%Proposition : \og Si ABC est un triangle équilatéral de côté 1, alors $\overrightarrow{ AB}\cdot\overrightarrow{ AC}=0.5$ \fg.
%\begin{enumerate}
% \item La proposition précédente est-elle vraie ? Justifier.
%\item La réciproque de cette proposition est-elle vraie ? Justifier.
%\end{enumerate}
%}


%\Exop{\hfill (2 points)\\
% $ABC$ est un triangle tel que $AB=4$, $AC=5$ et $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-10$. \\
%Construire le triangle $ABC$. \textit{Justifier la construction par un calcul}
%}











%\Exoi{Soit $ABC$ un triangle et $K$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$. On donne $AB=6$, $BK=4$ et $KC=7$
%\begin{enumerate}
%\item $I$ est le milieu de $[BC]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$. Faire une figure. 
%\item Calculer les produits scalaires suivants : $ \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$, $ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$, $ \overrightarrow{IG}\cdot \overrightarrow{IB}$, ainsi que la somme : $$ \overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{GB}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{GC}\cdot \overrightarrow{AC}$$
%\item Déterminer et représenter en rouge l'ensemble des points M du plan tels que : $ \overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BC}=44$
%\item Déterminer et représenter en vert l'ensemble des points M du plan tels que : $ \left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\cdot \overrightarrow{AC}=0$
%\end{enumerate}}

%\Exoi{$[AB]$ est un segment de milieu $I$ et $AB = 2$ cm. 
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que pour tout point M du plan : $MA^2-MB^2=2 \overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{AB}$
%\item Trouver et représenter l'ensemble des points M du plan tels que : $MA^2-MB^2=14$
%\end{enumerate}}

%\Exoi{On considère un segment $[AB]$ avec $AB = 1$ dm. Déterminer l'ensemble des points M tels que : 
%\begin{multicols}{2}
%\begin{enumerate}
%\item $ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=1$
%\item $MA^2+MB^2=5$
%\end{enumerate}
%\end{multicols} }







%\Exoi{\textbf{Olympiades}\\
%Dans un triangle $ABC$, la hauteur, la bissectrice et la médiane relative au sommet $A$ partagent l'angle $\widehat{BAC}$ en quatre angles de même mesure $\alpha$ en degré. Après avoir exprimé, en fonction de $\alpha$, les mesures de tous les angles de la figure, en déduire les mesures des angles du triangle $ABC$}
%
%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-4.2,-1.2)(10.2,4.2)
%\def\xmin{-4} \def\xmax{10} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
%\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-1.2)(10.2,4.2)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,3.0000){A}
%\uput{0.3000}[-90.0000](-1.0000,0.0000){B}
%\uput{0.3000}[-90.0000](7.0000,0.0000){C}
%\psline(0.0000,3.0000)(-1.0000,0.0000)
%\psline(0.0000,3.0000)(7.0000,0.0000)
%\psline(-1.0000,0.0000)(7.0000,0.0000)
%\uput{0.3000}[-90.0000](3.0000,0.0000){O}
%\psline(0.0000,3.0000)(3.0000,0.0000)
%\psline(0.0000,3.0000)(0.0000,0.0000)
%\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){H}
%\psline(0.0000,0.3000)(0.3000,0.3000)(0.3000,0.0000)
%\uput{0.3000}[-90.0000](1.3472,0.0000){I}
%\psline(0.0000,3.0000)(1.3472,0.0000)
%\psarc(0.0000,3.0000){0.4500}{-108.4349}{-90.0000}
%\psarc(0.0000,3.0000){0.5500}{-108.4349}{-90.0000}
%\psarc(0.0000,3.0000){0.4500}{-90.0000}{-65.8168}
%\psarc(0.0000,3.0000){0.5500}{-90.0000}{-65.8168}
%\psarc(0.0000,3.0000){0.4500}{-65.8168}{-45.0000}
%\psarc(0.0000,3.0000){0.5500}{-65.8168}{-45.0000}
%\psarc(0.0000,3.0000){0.4500}{-45.0000}{-23.1986}
%\psarc(0.0000,3.0000){0.5500}{-45.0000}{-23.1986}
%\uput{0.3000}[-105.0000](0.0000,2.5000){$\alpha$}
%\uput{0.3000}[-65.0000](0.0000,2.5000){$\alpha$}
%\uput{0.3000}[-25.0000](0.0000,2.5000){$\alpha$}
%\uput{0.3000}[0.0000](0.3000,2.5000){$\alpha$}
%
%\endpsclip
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\end{document}