\documentclass[a4paper,11pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\ch}{Chapitre 4} \newcommand{\Ch}{Loi Binomiale} \newcommand{\Cl}{1G6} \newcommand{\Annee}{2012-2013} \newcommand{\num}{4} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macro_final.tex \geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.9cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} \debutExoCha \begin{ExoF}\hfill\textbf{ Hasard et QCM}\\ \textbf{\underline{Objectif : } Etudier, pour une situation modélisable par un schéma de Bernoulli, des variables aléatoires qui suivent ou non une loi binomiale.}\\ Un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est composé de $10$ questions numérotées de $1$ à $10$. Pour chacune d'elles, quatre réponses possibles sont proposées, dont une seule est exacte.\\ La difficulté réside dans le fait que ce QCM Syldave est en chinois, et que notre candidat Fabrice ne lit pas le chinois (bien qu'il le parle couramment, évidemment). Il se voit donc obligé de répondre à chaque question au hasard, de façon indépendante (Fabrice déteste ne pas répondre du tout, il veut tenter sa chance coûte que coûte). \textbf{Partie A :} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la méthode de Farice pour répondre à une question est une épreuve de Bernoulli.\\ Préciser le succès et la probabilité qu'il se réalise. \item Que peut-on dire de l'expérience de Fabrice sur le QCM entier ? \end{enumerate} \item \textbf{Temps d'attente de la première bonne réponse}\\ On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le numéro de la première question à laquelle Fabrice répond juste. On convient que $X$ prend la valeur $11$ si toutes les réponses sont fausses. \begin{enumerate} \item Préciser quelles valeurs peut prendre $X$. \item Calculer $P(X=11)$ et $P(X=k)$ pour $1\leq k \leq 10$ \item $X$ suit-elle une loi binomiale ? \end{enumerate} \item \textbf{Attribution d'une note}\\ On décide de donner à Fabrice un point par réponse exacte. Soit $Y$ la variable aléatoire associant aux réponses de Fabrice sa note obtenue sur $10$. \begin{enumerate} \item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale et en préciser les paramètres. \item Sur la calculatrice ou le tableur, obtenir les valeurs arrondies à $10^{-6}$ de $P(Y=k)$ pour $0\leq k \leq 10$.\\ Les présenter dans un tableau, puis sous la forme d'un histogramme. \item Quelle est la probabilité que Fabrice obtienne la note maximale ? \item Quelle est la probabilité qu'il obtienne au moins la moyenne ? \item Quelle est la note la plus probabilité de Fabrice ? \item Quelle note Fabrice peut-il espérer obtenir (ie quelle note moyenne obtiendrait-il s'il remplissait au hasard un très grand nombre de QCM de ce type) \end{enumerate} \item Pour pénaliser les candidats qui ne comptent que sur le hasard comme Fabrice, le gouvernement Syldave décide de toujours accorder $1$ point par réponse exacte, mais cette fois d'enlever $0.2$ point par réponse fausse. \begin{enumerate} \item Prouver qu'avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire $Z$ donnant la note obtenue par Fabrice s'exprime par $Z=1,2Y-2$ \item En déduire la probablité que Fabrice obtienne une note négative, puis une note supérieur à $5$. \item Quelle note Fabrice peut-il espérer obtenir ? L'objectif vous paraît-il atteint ? \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B :} On suppose que $n$ candidats ($n\in\N^*$) répondent à ce QCM et qu'aucun d'entre eux ne lisant le chinois, ils suivent tous la méthode de Fabrice et sans copier. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $P_n$ qu'au moins un candidat obtienne la note $10$ ? \item Pour quelles valeurs de $n$ cet événement se produira-t-il avec une probabilité supérieur à $0.99$ ? \end{enumerate} \Cadre[Loi Binomiale à la calculatrice]{ Pour calculer $P(X=k)$ : \begin{itemize} \item \textbf{TI 82-83-84} : Taper \fbox{2nde} + \fbox{var} puis descendre avec \fbox{$\blacktriangledown$} et choisir \textbf{\texttt{0:binomFdp}}\\ Il s'affiche \texttt{binomFdp(} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k)}\\ \item \textbf{TI 89} : Taper \fbox{CATALOG} + \fbox{F3} puis se déplacer avec \fbox{$\blacktriangledown$} et \fbox{$\blacktriangle$} et choisir \textbf{\texttt{binomDdP}}\\ Il s'affiche \texttt{TIStat.binomDdP(} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k)}\\ \item \textbf{TI Nspire CX CAS} : Taper \fbox{CATALOG} + \fbox{2} puis se déplacer avec \fbox{$\blacktriangledown$} et \fbox{$\blacktriangle$} et sélectionner \textbf{\texttt{Probabilités}} que l'on ouvre avec \fbox{enter}\\ Ensuite, sélectionner \textbf{\texttt{Distributions}}, que l'on ouvre avec \fbox{enter}, et enfin choisir \textbf{\texttt{Binomiale DdP}}\\ Il s'affiche \texttt{binomPdf()} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k}\\ \item \textbf{Casio} : Dans \fbox{MENU}, choisir l'icône \texttt{STAT}, puis \texttt{DIST>BINM BPD}\\ \texttt{Numtrial} correspond au paramètre $n$.\\ \end{itemize} Pour calculer $P(X\leq k)$ : Même méthode, il suffit de choisir à la fin : \begin{itemize} \item \textbf{TI 82-83-84} : \textbf{\texttt{A:binomFRép}}\\ \item \textbf{TI 89} : \textbf{\texttt{binomFdR}}\\ \item \textbf{TI Nspire CX CAS} : \textbf{\texttt{Binomiale FdR}}\\ \item \textbf{Casio} : \texttt{DIST>BINM ?}\\ \texttt{Numtrial} correspond au paramètre $n$. \end{itemize} } \end{ExoF} \newpage \begin{ExoF} \hfill\textbf{Méthode du poolage}\\ \textbf{\underline{Objectif : } Etudier une méthode utilisée par exemple pour les tests sanguins}\\ La méthode de poolage est utilisée dans la détection des porteurs d'un parasite au sein d'un ensemble donnée de $N$ individus tirés au sort de façon indépendante, dans une population très vaste par rapport à $N$ (ce qui permet de considérer que le tirage est équivalent à un tirage avec remise).\\ La proportion de porteurs du parasite dans la population est $p$ ($0